quant-1-1-arphf9t1u8h

(апории Зенона). Над этими парадоксами бывает очень весело посмеяться на лекции, глядя на них с недоступных старику Зенону высот математического анализа и классической механики. Однако в квантовой механике некоторые рассуждения Зенона внезапно приобретают физический смысл, более того, соответствующие физические эффекты наблюдаются экспериментально.

В апории «стрела» невозможность движения доказывается примерно следующим образом: летящая стрела в каждый момент времени где-то находится/покоится, но стрела не может одновременно лететь и покоиться, а значит движение невозможно. Невозможности движения это рассуждение, конечно, не доказывает, но оно доказывает невозможность движения, когда это движение каждый момент времени точно измеряют: если очень точно измерить положение летящей частицы, то е¨ волновая функция схлопнется в очень узкий волновой пакет, для которого неопредел¨нность координаты ма-

ла, а неопредел¨нность импульса очень велика, после этого летела частица или покоилась будет уже не важно. Более того, если повторять измерение очень часто, так, чтобы волновой пакет не успел расплыться и сдвинуться, то измерение скомпенсирует эволюцию волновой функции и частица каждый раз будет обнаруживаться в одном и том же месте (т. е. перестанет двигаться)10.

Таким образом, квантовый эффект Зенона состоит в замораживании (или замедлении) эволюции системы, подвергающейся частым и точным измерениям.

уже никогда не сможем узнать, что в точности писал сам Зенон, и существовал ли он вообще (или, например, был выдуман Аристотелем). Однако достаточно ли принципиальна эта невозможность для того, чтобы надо было принимать во внимание интерференцию различных вариантов прошлого, содержащих (или не содержавших) различных Зенонов Элейских (см. рис. 7.6), не ясно.

10Пусть в начальный момент времени волновая функция свободной частицы в импульс-

Впервые квантовый эффект Зенона был предсказан в 1958 году советским физиком Леонидом Александровичем Халфиным11. Имя Зенона эффекту дали Байдьянат Мизра и Джордж Сударшан в 1978 году. Эффект для вероятности переходов между атомными уровнями был экспериментально подтвержден¨ в 1989 году12.

Рассмотрим квантовый эффект Зенона на простейшем примере. Пусть эволюция квантовой системы описывается как вращение вектора состояния в заданной плоскости с постоянной угловой скоростью ω = δE¯h . Это соответствует тому, что система находится в суперпозиции двух стационарных состояний с различной на δE энергией, причем¨ амплитуды обоих стационарных состояний одинаковы по модулю. (Плоскость вращения будет, разумеется, комплексной, но подбором фазовых множителей и нулевого уровня энергии ее¨ можно сделать обычной вещественной евклидовой плоскостью.)

Пусть плоскость вращения натянута на ортонормированные состояния Ψ и Φ, тогда, если в нулевой момент времени волновая функция равнялась Ψ, в момент времени δt имеем

ψ(δt) = Ψ cos(ω δt) + Φ sin(ω δt).

Если теперь провести измерение, отвечающее на вопрос «Находится ли система в состоянии Ψ?», то вероятность ответа «да» и скачка в состояние Ψ составит cos2(ω δt), а вероятность ответа «нет» и скачка в состоя-

частицы в момент времени t в начальном состоянии ψ0 задаётся скалярным произведени-

с интервалом t = T /N , то суммарная вероятность ухода частицы из состояния ψ0 составит

T 2 p4

Pух.(T, N ) ≈ N (1 − P0(T /N )) = 0 . Мы видим, что Pух.(T, N ) → 0 при N → ∞,

N 8m2¯h2

т. е. частые измерения, определяющие осталась ли частица в прежнем состоянии, «останавливают» движение частицы.

11Халфин Л. А. // ДАН СССР. — 1957. — Т. 115. — С. 277; ЖЭТФ. — 1958. — Т. 33. — С. 1371; Квантовая теория распада физических систем: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — ФИАН

СССР, 1960.

12Science. November 1989. — Vol. 246. — P. 888.

Важно, что pнет оказывается квадратично по времени. Из этого следует, что если мы на конечном времени t проделаем n измерений, интервал между которыми δt = nt , то суммарная вероятность получения ответа «нет» ведет¨ себя как

Таким образом, чем чаще мы подвергаем систему измерению «Не ушла ли система из исходного состояния Ψ?», тем ближе к единице вероятность того, что система осталась в исходном состоянии. Достаточно частыми измерениями мы можем удержать систему в исходном состоянии сколь угодно долго со сколь угодно малой вероятностью случайного скачка в другое состояние13, что и дает¨ нам эффект Зенона.

Эффект Зенона может осуществляться путем¨ измерения без взаимодействия, если вместо наличия системы в состоянии Ψ проверять наличие системы в состоянии Φ. Система в состоянии Φ, с вероятностью близкой к 1, не будет обнаружена, но это несостоявшееся обнаружение все¨ равно повлияет на состояние системы.

Рассмотрим оптическую реализацию эффекта Зенона. Некоторые среды, состоящие из несимметричных молекул, вращают плоскость поляризации проходящего через них света, т. е. если по такой среде распространяется линейно поляризованный свет, то направление поляризации поворачивается на угол, пропорциональный пройденному пути14. Таким образом, для линейно поляризованного фотона, распространяющегося по среде, плоскость поляризации поворачивается как на рис. 7.7 (только теперь оси координат можно обозначить просто как x и y).

Помещенный¨ в среду поляризатор производит измерение поляризации каждого фотона и пропускает только те фотоны, которые поляризованы вдоль оси поляризатора. Для прошедших через поляризатор фотонов измерение можно считать прошедшим без взаимодействия (с фотоном «ничего не случилось»).

Оптический эффект Зенона состоит в том, что если мы ставим одинаково ориентированные поляризаторы внутри среды все¨ чаще и чаще, то фотон, с вероятностью сколь угодно близкой к единице, пройдет¨ через сколь угодно толстую среду, не изменив направления поляризации15.

13Для всякого времени t > 0 и вероятности p0 > 0 найдется¨ такое число измерений n, что за время t система останется в состоянии Ψ с вероятностью большей, чем 1 − p0.

14Этот эффект можно трактовать как разную скорость распространения волн с круговой поляризацией по и против часовой стрелки.

15Здесь, разумеется, мы пренебрегаем возможным поглощением и отражением на поляризаторов фотонов с «правильной» поляризацией. Также мы пренебрегаем толщиной поляризаторов.

cos( t) + sin( t)

t

cos( t)

Рис. 7.7. Поворот состояния в плоскости (Ψ, Φ) за малое время δτ на угол ω δτ и проекция на ось Ψ при «удачном» измерении.

Следует заметить, что с помощью эффекта Зенона можно не только «замораживать» эволюцию системы, но и вести эту эволюцию произвольным образом (если суметь придумать подходящие процедуры измерений). Мы можем слегка модифицировать эксперимент и измерять «находится ли система в состоянии Φ(t)?» Тогда каждый раз измерение будет проецировать состояние системы на новое направление Φ(t) (состояние Φ(t) нормировано на единицу и дифференцируемо по времени). Если измерения происходят достаточно часто, а Φ(t) меняется со временем не слишком быстро, то с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, после очередного измерения система будет оказываться как раз в состоянии Φ(t). Таким образом, мы можем задать руками состояние как функцию от времени и «железной рукой» заставить систему следовать именно этому пути (с точностью до фазовых множителей). Такую разновидность эффекта Зенона принято называть эффектом Антизенона.

Оптический эффект Антизенона может быть продемонстрирован еще¨ проще, чем эффект Зенона, без помощи вращающей поляризацию среды. Линейно поляризованный свет в пустоте (или в воздухе) сохраняет направление поляризации. Однако, если мы поставим на его пути стопку поляризаторов, в которой ось каждого последующего повернута¨ на малый угол δϕ, то для идеальных поляризаторов, с вероятностью сколь угодно близкой к единице, фотон пройдет¨ без поглощения всю стопку, послушно поворачивая направление поляризации вдоль осей поляризаторов.

7.4.2. Теорема Халфина

Рассмотрение квантового эффекта Зенона в общем случае полностью аналогично рассмотренному выше двумерному случаю, т. к. квантовая эво-

люция в течение малого времени происходит в двумерном подпростран-

ˆ

стве, натянутом на векторы |ψ и |dψ = iH¯h dt |ψ .

Пусть в начальный момент времени система находится в нормированном состоянии |ψ0 ( ψ0|ψ0 = 1), спустя время dt система переходит в состояние

ˆ

|ψ = |ψ0 + |dψ = |ψ0 + iH¯h dt |ψ0 .

ˆ|

Всилу эрмитовости гамильтониана H, состояние ψ является нормированным с точностью до второго порядка по dt:

Пусть в момент времени dt происходит измерение, призванное определить, ушла ли система из исходного состояния |ψ0 . Вероятность того, что система ушла из состояния |ψ0 , равна вероятности того, что система будет обнаружена в состоянии |dψ , полученном из |dψ проекцией на подпространство, ортогональное к |ψ0 :

Состояние |dψ нормировано не на единицу, а на вероятность, это следует из того, что оно получается проекцией на подпространство, ортогональное |ψ0 , нормированного (в линейном по dt порядке) на 1 состояния |ψ . Таким образом, вероятность p− того, что система ушла из состояния |ψ0 задается¨ как

Если задать dt = Nt0 , то вероятность того, что система уйдет¨ из состояния |ψ0 за время t0, если за это время было сделано N измерений с интервалом dt, можно сделать сколь угодно малой:

Таким образом, мы доказали наличие квантового эффекта Зенона для измерений, проверяющих уход системы из одномерного подпространства

7.5. Квантовая (не)локальность

Квантовая механика в некотором смысле нелокальна, поскольку она допускает мгновенное воздействие на состояние системы на расстоянии. Однако это воздействие устроено так, что обнаружить его можно не раньше, чем удастся переговорить с его организатором. Таким образом, квантовая механика в некотором смысле локальна. И эта локальность позволяет состыковать квантовую механику со специальной теорией относительности, в которой постулируется максимальная скорость распространения взаимодействия.

7.5.1. Запутанные состояния (ф*)

Пусть (сложная) квантовая система состоит из двух подсистем. Тогда волновая функция системы ψ может быть записана как функция от двух наборов аргументов: наблюдаемые первой подсистемы x1 и наблюдаемые второй подсистемы x2

ψ(x1, x2), ψ H1 H2.

Для смешанного состояния аналогично записывается матрица плотности:

ρ(x1, x2; x1, x2), ρˆ H1 H2 H1 H2 .

Запутанными состояниями сложной квантовой системы называются состояния, которые не могут быть представлены как произведение состояний подсистем. То есть для чистого состояния

ψ(x1, x2) =ψ1(x1) · ψ2(x2),

а для смешанного состояния

ρ(x1, x2; x1, x2) =ρ1(x1; x1) · ρ2(x2; x2).

Врусской литературе существует разнобой в терминах, обозначающих запутанные состояния. Такие состояния могут называть: запутанные состояния, перепутанные состояния, зацепленные состояния. В английском языке используется один термин entangled states.

Также незапутанное состояние может называться факторизуемым состоянием (т. е. разложимым на множители), а запутанное — нефакторизуемым состоянием.

Вданной книге эти выражения используются в следующем смысле:

•запутанное состояние — состояние сложной системы, которое не представимо как произведение состояний при данном разбиении на подсистемы;

•нефакторизуемое состояние — состояние сложной системы, которое не представимо как произведение состояний при произвольном разбиении на подсистемы;

•зацепленное состояние — состояние подсистемы, входящей в сложную систему в запутанном (при выделении данной подсистемы) состоянии.

Является ли данное состояние запутанным зависит от того, как сложная система разбита на подсистемы.

Для системы в запутанном состоянии состояния подсистем зацеплены (квантово коррелированы) друг с другом. В этом случае мы не можем определить состояния подсистем через волновые функции или матрицы плотности так, чтобы по состояниям подсистем можно было восстановить состояние сложной системы (см. 4.8.2 «Матрица плотности для подсистемы*»).

Если в запутанном состоянии зацеплены состояния подсистем, которые удалены друг от друга в пространстве, то такие запутанные состояния называются нелокальными состояниями.

7.5.2. Зацепленные состояния при селективном измерении (ф*)

ˆ H H

12 2 2 — единичный оператор, действующий на остальную часть сложной системы. Аналогичный вид имеют и проекторы, переводящие состояние до измерения, в состояние после измерения при определенном¨ ис-

Если состояния подсистем незацеплены, то состояние системы представимо в виде произведения состояний подсистем |ψ = |ψ1|ψ2 , и после измерения состояние второй подсистемы не изменяется:

В этом случае, если производить измерения над второй подсистемой, то вероятности исходов не будут зависеть от того, что было ранее сделано с первой подсистемой.

Однако, если состояния подсистем зацеплены, то результат измерения над второй подсистемой может зависеть от того, что ранее происхо-

дило с первой. Пусть, например, исходное состояние имело вид |ψ1 |ψ2 + + |ψ1 |ψ2 , тогда

ˆ ˆ | | | | ˆ ˆ | | ˆ ˆ | |

(P1 12)( ψ1 ψ2 + ψ1 ψ2 ) = (P1 12) ψ1 ψ2 + (P1 12) ψ1 ψ2 =

ˆ | | ˆ | |

= (P1 ψ1 ) ψ2 + (P1 ψ1 ) ψ2 .

В этом случае после измерения состояние «распутывается»:

ˆ ˆ | | | | | | |

(P1 12)( ψ1 ψ2 + ψ1 ψ2 ) = φ1 (c ψ2 + c ψ2 ).

Амплитуды c и c , с которыми состояния |ψ2 и |ψ2 входят в суперпозицию, зависят от того, в каком состоянии |φ1 оказалась после измерения подсистема-1. Состояние |φ1 является собственным состоянием оператора наблюдаемой, которая измерялась для подсистемы-1. И хотя наблюда- тель-1 не может влиять на квантовые вероятности исходов данного конкретного измерения, он может выбрать какую именно наблюдаемую мерить. Результат его выбора после измерения мгновенно отразится на состоянии подсистемы-2. В этом состоит нелокальность квантовой механики.

Рис. 7.8. Кадры из фильма «Высокий блондин в черном¨ ботинке» (второй кадр дан в зеркальном отражении, для соответствия мысленному эксперименту).

Например, если мы имеем перепутанное состояние двух спинов, отвечающее суммарному спину 0:

| ↑ | ↓ − | ↓ | ↑ | → | ← − | ← | →

то обнаружение 1-й частицы в состоянии спин вверх | ↑ или спин вниз | ↓ , спин вправо | → или спин влево | ← автоматически переводит 2-ю частицу в состояние с противоположным направлением спина. Наблюда- тель-1 может при этом выбрать будет ли он измерять проекцию спина на ось вверх-вниз (и обнаружит | ↑ или | ↓ ), или на ось вправо-влево (и обнаружит | → или | ← ), хотя и не может предрешить результат выбранного измерения.

Если бы наблюдатель-1 все¨ время измерял один и тот же оператор, то квантовая нелокальность была бы полностью эквивалентна классической «нелокальности», возникающей тогда, когда мы, обнаружив, что надели на правую ногу черный¨ ботинок, а на левую коричневый, мгновенно определяем, что дома остался левый черный¨ ботинок и правый коричневый (см. рис. 7.8). В классической физике мы не можем обнаружить ботинок в сос-

(см. (7.14)).

Как мы увидим далее, квантовая нелокальность не может быть использована для передачи со сверхсветовой скоростью какой-либо информации. Чтобы эту нелокальность обнаружить, наблюдатели 1 и 2 должны провести серию измерений над запутанными состояниями и убедиться, что их результаты скоррелированы между собой. Однако результаты каждого наблюдателя в отдельности никаких странностей не проявляют. (См. следующие разделы.)

7.5.3. Зацепленные состояния при неселективном измерении (ф*)

Выше мы увидели, что измерение, совершаемое наблюдателем-1 над одной подсистемой запутанной системы, может мгновенно влиять на состояние другой подсистемы. Мы рассматривали это измерение как селективное, т. е. предполагали, что его результат известен наблюдателю-2, который экспериментирует со второй частью системы. Однако наблюдатель-2 не может знать волновую функцию своей собственной подсистемы-2, до тех пор пока ему не сообщили результаты измерения наблюдателя-1, а до тех пор он может говорить лишь о вероятности той или иной волновой функции подсистемы-2.

Таким образом, если экспериментаторы вместе с подсистемами удалены друг от друга, то результаты наблюдателя-1 сразу после измерения не известны наблюдателю-2, а значит измерение над подсистемой-1 с точки зрения наблюдателя-2 следует рассматривать как неселективное и описы-

вать состояния подсистем в помощью матриц плотности:

ρˆ1 = tr2 ρ,ˆ ρ1(x1; x2) = dy ρ(x1, y; x2, y).

При вычислении частичного следа на результат влияют только диагональные по переменным интегрирования y компоненты матрицы полной матрицы плотности.

При неселективном измерении наблюдаемой величины a(y) (коммутирующей (одновременно измеримой) с y и описывающей подсистему-2) в матрице плотности обнуляются все компоненты ρ(x1, y1; x2, y2), для которых a(y1) =a(y2):

ρпосле(x1, y1; x2, y2) = ρ(x1, y1; x2, y2) · δa(y1),a(y2).

Диагональные по y компоненты матрицы плотности при этом не меняются, поэтому не меняется матрица плотности для подсистемы-1.

ˆ

Какую бы наблюдаемую A для подсистемы-2 мы не измеряли, мы

ˆ

можем выбрать в качестве y набор наблюдаемых, коммутирующих с A, и представить наблюдаемую в виде функции a(y).

Таким образом, никакое неселективное наблюдение, выполненное над подсистемой-2, не может изменить состояния (матрицу плотности) подсистемы-1 и наоборот. В этом состоит локальность квантовой механики.

Как мы только что убедились, описанная выше нелокальность квантовой механики проявляется только для селективных измерений, а значит она не может привести к мгновенной передаче информации на расстоянии и не противоречит специальной теории относительности.

7.5.4. Классические измерения (ф*)

Почти все результаты, которые были получены для селективных и неселективных измерений выше, можно повторить и для классических измерений.

Состояния классической системы, состоящей из двух подсистем, мы можем описать совместным распределением вероятностей (x, y), где наборы наблюдаемых x и y описывают первую и вторую подсистемы соответственно.