quant-1-1-arphf9t1u8h
.pdf
5.2. РАЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ |
133 |
уровень энергии в квантовой механике определяется столь же произвольно, сколь и в классической5.
Собственные функции гамильтониана, также как и любого эрмитового оператора, образуют базис. Таким образом, любая волновая функция может быть разложена по стационарным состояниям. Суперпозиция стационарных состояний, отвечающих разным уровням энергии, уже не является стационарным состоянием. Такое состояние зависит от времени нетривиальным образом:
αψ1(t) + βψ2 |
(t) = αψ1(0)e− |
i |
E1t |
+ βψ2(0)e− |
i |
E2t = |
||||
¯h |
¯h |
|||||||||
= e− |
i |
|
E1t(αψ1(0) + βψ2(0)e |
i |
(E1−E2)t). |
|
||||
¯h |
¯h |
|
||||||||
Существенная часть временной эволюции (влияющая на средние и матричные элементы) зависит только от разности энергий, поскольку общий фазовый множитель e− h¯i E1t не несет¨ физического смысла (и может быть изменен¨ сдвигом нулевого уровня энергии).
5.2.Разные представления временной (унитарной) эволюции квантовой системы
Временная (унитарная) эволюция системы в отсутствие измерения
ˆ
описывается семейством унитарных преобразований U (t1, t0) (см. раздел 5.1.1). Опираясь на материал главы 11 «Симметрии-1 (теорема Нетер)»¨ мы можем сказать, что унитарная эволюция представляет собой преобразование симметрии, порожденное¨ оператором энергии (гамильтонианом).
5.2.1. Унитарная эволюция: активная или пассивная*
Как и любое преобразование симметрии, унитарная эволюция может быть представлена в двух естественных интерпретациях:
•как активное преобразование, т. е. преобразование, меняющее векторы состояния в некотором фиксированном базисе;
•как пассивное преобразование, т. е. преобразование, меняющее базис, но оставляющее сами векторы состояния неизменными.
5В релятивистской квантовой теории (квантовой теории поля), как и в классической релятивистской теории, нулевой уровень энергии уже не может задаваться произвольно, поскольку преобразования Лоренца «перемешивают» энергию с импульсом.
134 |
ГЛАВА 5 |
Базисные векторы мы нумеруем собственными числами некоторых эрмитовых или унитарных операторов. Таким образом, если мы хотим, чтобы базис собственных функций зависел от времени, то от времени должны зависеть операторы, с помощью которых мы определяем базис.
5.2.2. Пространство состояний в разные моменты времени*
Гильбертово пространство состояний квантовой системы H в разные моменты времени t следует считать различными пространствами состояний Ht, поскольку у нас нет естественного способа сопоставить друг другу состояния в разные моменты времени:
•линейная комбинация векторов состояния в разные моменты времени не имеет физического смысла;
•унитарная эволюция системы является естественным кандидатом на «способ отождествления состояний в разные моменты времени», но:
–унитарная эволюция зависит от выбора гамильтониана;
–даже нефизические преобразования (симметрии) гамильтониана могут менять эволюцию системы, например:
переход в движущуюся систему координат не меняет физическую эволюцию системы, но делает ранее независящее от времени состояние зависящим;
сдвиг нулевого уровня энергии также делает ранее независящее от времени состояние зависящим;
калибровочное (градиентное) преобразование электромагнитного поля, не меняя физического состояния системы, меняет ее¨ описание в данный момент времени и описание ее¨ эволюции.
Таким образом, описание временной эволюции квантовой системы допускает произвол в выборе базиса в каждый момент времени. Если мы хотим сохранить непрерывность, то произвол можно описать одним произвольным унитарным оператором, непрерывно зависящим от времени.
5.2.3. Представления Шредингера,¨ Гайзенберга и взаимодействия
Мы никогда не работаем непосредственно с векторами состояния квантовых систем: все измеримые величины выражаются через матричные элементы тех или иных линейных операторов (скалярное произведение тоже
5.2. РАЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ |
135 |
можно рассматривать как матричный элемент единичного оператора). Если зависимость от времени волновой функции задается¨ оператором эволюции,
|
|
ˆ |
|
то матричный элемент оператора A(t) в момент времени t задается¨ следую- |
|||
щим образом: |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ † ˆ ˆ |
(5.14) |
ϕ|A|ψ t = ϕ(t)|A(t)|ψ(t) = ϕ(0)|Ut A(t)Ut|ψ(0) . |
|||
Для нас не важна временная эволюция векторов состояния или операторов самих по себе, но матричные элементы не должны зависеть от того, в каком представлении мы их вычисляем.
Если динамика системы описывается как эволюция вектора состояния, а временная зависимость операторов A(t) никак не связана с динамикой системы, т. е.
|ψш(t) = |ψ(t) = Uˆt|ψ(0) |
ρˆш(t) = Uˆtρˆ(0)Uˆt† , |
|
ˆ |
ˆ |
|
Aш(t) = A(t) |
|
|
— это представление Шредингера¨.
Именно представлением Шредингера¨ мы пользовались выше в разделах 5.1.1 и 5.1.4, когда писали уравнение Шредингера¨ для зависящей от времени волновой функции.
Если динамика системы описывается как эволюция оператора, а вектор состояния (или матрица плотности) никак не зависит от времени, т. е.
|ψг = |ψ(0) = |ψш(0) ( ρˆг = ρˆ(0) = ρˆш(0)),
ˆ ˆ † ˆ ˆ ˆ † ˆ ˆ
Aг(t) = Ut A(t)Ut = Ut Aш(t)Ut
— это представление Гайзенберга.
Хотя состояния и операторы в представлениях Гайзенберга и Шредин¨- гера эволюционируют по-разному, в нулевой момент времени они совпадают, а матричные элементы совпадают во все моменты времени:
ˆ |
ˆ † ˆ ˆ |
ϕш(t)|Aш(t)|ψш(t) = ( ϕ(0)|Ut )A(t)(Ut|ψ(0) ) = |
|
ˆ † ˆ ˆ |
ˆ |
= ϕ(0)|(Ut A(t)Ut)|ψ(0) = ϕг|Aг(t)|ψг .
Мы видим, что два выражения для матричных элементов, расписанных с помощью оператора эволюции, различаются лишь расстановкой скобок.
Мы можем ввести также некоторое представление, промежуточное между представлениями Шредингера¨ и Гайзенберга и обобщающее оба
136 ГЛАВА 5
этих представления — представление взаимодействия (представление Дирака):
|
ˆ (0)† |
ˆ (0)† |
ˆ |
|
|
(5.15) |
|
|ψв(t) = Ut |
|ψш = Ut |
Ut|ψг , |
|
||||
|
ˆ (0)† |
ˆ (0) |
|
ˆ (0)† ˆ ˆ † ˆ (0) |
[ ] |
(5.16) |
|
ρˆв(t) = Ut |
ρˆш(t)Ut |
= Ut |
UtρˆгUt Ut , |
||||
Aˆв(t) = Uˆt(0)†Aˆш(t)Uˆt(0) = Uˆt(0)†UˆtAˆг(t)Uˆt†Uˆt(0). |
|
(5.17) |
|||||
ˆ (0) |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
В случае U |
= 1 представление взаимодействия совпадает с представле- |
||||||
|
|
ˆ (0) |
|
ˆ |
|
|
|
нием Гайзенберга, а в случае U |
= U — с представление Шредингера.¨ |
||||||
Название «представление взаимодействия» связано с наиболее распространенным¨ способом его использования, когда в качестве операто-
ˆ (0) |
берут оператор эволюции, для гамильтониана без учета¨ взаимодей- |
|||||
ра Ut |
||||||
ствия, каких-либо подсистем — «невозмущенный¨ |
|
ˆ |
||||
гамильтониан» H0. Пол- |
||||||
ный («возмущенный»)¨ |
|
|
|
|
ˆ |
|
гамильтониан, порождающий эволюцию Ut, пред- |
||||||
ставляют как сумму невозмущенного¨ |
|
ˆ |
и некоторой до- |
|||
гамильтониана H0 |
||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
бавки V , описывающей взаимодействие: |
|
|
||||
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
H = H0 |
+ V . |
|
|
|
Операторы в представлении взаимодействия совпадают |
с операторами |
|||||
в гайзенберговском представлении для невозмущенного¨ гамильтониана, но появляется зависимость волновой функции от времени, связанная с возмущением (взаимодействием).
В тех случаях, когда представление явно не указано, мы будем подразумевать представление Шредингера¨. Аналогично указание на представление может отсутствовать, когда формулы одинаково записываются в разных представлениях (см. следующий раздел).
5.2.4. Функции от операторов в разных представлениях
Переход между различными представлениями операторов в фиксированный момент времени осуществляется с помощью унитарного преобразования:
ˆ → ˆ † ˆ ˆ
A U AU .
Новый оператор при этом можно рассматривать как представление старого оператора в новом базисе. Функция от операторов, определяемая с помощью операций сложения, умножения на число и умножения операторов между собой, не зависит от базиса. Поэтому смена базиса (переход к новому представлению) может с равным успехом осуществляться как до, так
5.2. РАЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ |
137 |
и после вычисления функции, например:
ˆ ˆ ˆ † ˆ ˆ ˆ ˆ † ˆ ˆ ˆ † ˆ ˆ ˆ ˆ
(A + bB)г = Ut (A + bB)Ut = Ut AUt + bUt BUt = Aг + bBг,
ˆ ˆ ˆ † ˆ ˆ ˆ ˆ † ˆ ˆ ˆ † ˆ ˆ ˆ ˆ
(AB)г = Ut (AB)Ut = (Ut AUt)(Ut BUt) = AгBг.
Аналогичные формулы можно получить и для более сложных объектов, таких как коммутатор и матричная экспонента (достаточно расписать эти операции через сложение/вычитание и умножение):
ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
[A, B]г = (AB − BA)г = AгBг − BгAг |
||||
ˆ |
ˆ |
ˆ † ˆ ˆ |
ˆ |
|
(eA)г = Uˆt†eAUˆt = eUt AUt = eAг . |
|
|||
ˆˆ
=[Aг, Bг],
5.2.5. Гамильтониан в представлении Гайзенберга
Когда мы определяли представление Гайзенберга, мы не делали никаких специальных предположений о виде гамильтониана, т. е. в общем случае гамильтониан — некоторый зависящий от времени эрмитов опера-
ˆ |
|
|
тор H(t). Однако для большинства задач гамильтониан от времени не за- |
||
висит, в этом случае Uˆt = e− |
i |
ˆ |
h¯ |
H t и оператор эволюции коммутирует с га- |
|
мильтонианом: |
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
[H, Ut] = 0. |
Таким образом, для автономных систем (когда гамильтониан не зависит от времени) получаем:
ˆ |
i |
ˆ |
− |
i |
ˆ |
¯h H t ˆ |
¯h H t |
||||
Hг = e |
|
He |
|
|
|
|
i |
ˆ |
− |
i |
ˆ |
= e |
¯h H t |
¯h H t ˆ ˆ |
|||
|
e |
|
|
H = Hш. |
|
5.2.6. Уравнение Гайзенберга
Для того, чтобы задать дифференциальное уравнение, описывающее временную эволюцию гайзенберговских операторов, продифференцируем по времени гайзенберговский оператор, выраженный через шредингеровс¨- кий оператор и оператор эволюции:
ˆ
dAг
dt
|
|
Aˆг = Uˆt†AˆшUˆt, |
||||
|
ˆ † |
|
|
|
|
ˆ |
= |
dUt |
Aˆ |
Uˆ |
|
+ Uˆ †Aˆ |
dUt |
dt |
|
|
||||
|
ш |
|
t |
t ш dt |
||
ˆ
ˆ † dAш ˆ
+ Ut dt Ut.
138 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя уравнение (5.11), мы получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
i |
|
|
|
|
|
ˆ † |
|
i |
|
|
|
||||
|
|
|
|
dUt |
|
|
ˆ ˆ |
|
|
dUt |
|
ˆ † ˆ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dt |
= − |
¯h |
HUt, |
|
|
dt |
|
= |
|
¯h |
Ut H, |
|
|
|||||
|
ˆ |
|
i |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
i |
|
|
, Aˆг] + |
ˆ |
. (5.18) |
|||||
|
dAг |
|
|
|
|
|
|
dAш |
|
|
|
|
|
dAш |
|||||||||
|
|
= |
|
Uˆt†[Hˆ , Aˆш]Uˆt + Uˆt† |
|
Uˆt = |
|
|
[Hˆг |
|
|||||||||||||
|
dt |
¯h |
dt |
¯h |
dt |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
Полные и частные производные от операторов по времени |
|||||||||||||||||||||||
|
В формуле Гайзенберга (5.18) фигурируют две разные производные от |
||||||||||||||||||||||
оператора по времени: |
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dA |
dA |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
, |
|
ш |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dt |
|
|
|
|
||||||||||
г
Первая формула — «просто производная по времени» в представлении Гайзенберга, вторая — «просто производная по времени» в представлении Шредингера¨ (которую потом выразили в представлении Гайзенберга).
ˆ
При этом производная dAш никак не зависит от гамильтониана, т. е. на
|
dt |
ней никак не сказывается временная эволюция системы. |
|
Введем¨ |
ˆ |
следующее определение: полная производная от оператора A |
|
по времени — оператор, среднее от которого по любому состоянию равно производной по времени от среднего по этому же состоянию:
ˆ |
# = |
d |
|
|
dA |
Aˆ . |
|
||
" dt |
dt |
(5.19) |
Удобнее всего вычислять полную производную по времени в представлении Гайзенберга, поскольку в этом случае от времени зависят только операторы (не не волновые функции), и полная производная от оператора оказывается «просто производной по времени».
ˆ
Определим также частную производную по времени от оператора A, как полную производную при замороженной эволюции системы, т. е. в слу-
ˆ |
ˆ |
ˆ |
чае H ≡ 0 (т. е. U |
≡ 1). Частная производная по времени совпадает с «прос- |
|
то производной» в представлении Шредингера¨.
Таким образом мы перенесли из классической теоретической механики в квантовую механику понятия частной и полной производной по времени от наблюдаемой величины.
ˆ |
г |
|
ˆ |
|
ˆ |
ш |
|
ˆ |
|
dA |
= |
dAг |
|
∂A |
= |
dAш |
|||
|
|
, |
|
|
. |
||||
dt |
dt |
∂t |
dt |
||||||
5.2. РАЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ |
139 |
Теперь мы можем переписать формулы Гайзенберга следующим обра-
зом:
ˆ |
|
ˆ |
|
i |
|
|
dA |
|
∂A |
|
ˆ ˆ |
|
|
dt |
= |
∂t |
+ |
¯h |
[H, A]. |
(5.20) |
Эта формула применима в любом представлении, поэтому мы убрали указание на то, в каком представлении берутся входящие в нее¨ операторы.
Интегралы движения
Определив полную производную от оператора по времени, мы можем
ˆ
обратиться к вопросу об интегралах движения. Чтобы оператор A задавал интеграл движения достаточно, чтобы оператор явно не зависел от времени и коммутировал с гамильтонианом
ˆ |
ˆ ˆ |
|
ˆ |
|
∂A |
|
dA |
= 0. |
|
∂t |
= 0, [H, A] = 0 |
dt |
Такой эрмитов оператор порождает соответствующую однопараметричес-
ˆ
кую группу симметрий (унитарных операторов) вида eiaA. Это соответствует выводам раздела 11.3 «Непрерывные симметрии и законы сохранения».
Правило Лейбница и коммутатор*
Правило Лейбница для полной производной по времени
ˆ ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
|
dAB |
ˆ dB |
dA ˆ |
|
|
dt |
= A dt |
+ dt B |
|
|
следует из тождества: |
|
|
|
|
ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ ˆ |
(5.21) |
[AB, C] = [A, C]B + A[B, C]. |
||||
Эту формулу легко проверить, расписав коммутаторы в левой и правой частях равенства как разности произведений операторов. Эту формулу можно назвать правилом Лейбница для коммутатора, относительно операторного умножения.
Для операторов есть еще¨ одно естественное умножение — сам коммутатор. Два раза применив формулу (5.21), мы получаем уже правило Лейбница для коммутатора, относительно коммутатора6
ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
(5.22) |
[[A, B], C |
] = [AB, C |
] − [BA, C |
] = [[A, C |
], B] + [A, [B, C]]. |
6Обратите внимание, здесь коммутатор выступает сразу в двух ипостасях: как производная
икак произведение.
140 |
|
ГЛАВА 5 |
|
|
||
Отсюда следует: |
|
|
! + |
|
, Bˆ!. |
|
|
ˆ ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
||
|
d[A, B] |
|
||||
|
|
= A,ˆ |
dB |
dA |
||
|
dt |
dt |
dt |
|||
С учетом¨ антисимметрии коммутатора формула (5.22) может быть переписана как тождество Якоби для коммутатора:
ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
(5.23) |
[[A, B], C |
] + [[B, C |
], A] + [[C, A], B] = 0. |
Антисимметрия, линейность и наличие тождества Якоби позволяет рассматривать коммутатор как скобку Ли, задействуя в квантовой механике мощный математический аппарат теории алгебр Ли. Возможность рассмотрения коммутатора как скобки Ли будет важна и для установления соответствия с теоретической механикой, где аналогичную роль играет скобка Пуассона.
Пример: эволюция волнового пакета для свободной частицы
Гамильтониан для свободной частицы получается из классического надеванием шляпок на H и p (в координатном представлении, когда волновые функции представлены как функции от координат, pˆ = −i ∂x∂ ) в формуле для классической функции Гамильтона (в выражении энергии через координаты и импульсы):
ˆ |
pˆ2 |
|
H = |
2m |
. |
Используя его, мы можем написать полные производные по времени от операторов координаты и импульса (координата и импульс не зависят от времени явно, так что частная производная по времени вклада не дает):¨
|
dpˆ |
|
i |
|
pˆ2 |
|
dxˆ |
|
i |
pˆ2 |
|
|
i |
|
|
pˆ |
||||||||
|
|
|
= |
|
$ |
|
|
, pˆ% = 0, |
|
= |
|
$ |
|
, xˆ% |
= |
|
|
|
(pˆ[p,ˆ xˆ] + [p,ˆ xˆ] pˆ) = |
|
. |
|||
|
dt |
¯h |
2m |
dt |
¯h |
2m |
2m¯h |
m |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−i¯h |
−i¯h |
|
|
Мы воспользовались здесь тождеством (5.21). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Формулы совпадают с классическими «с точностью до шляпок». |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
В представлении Гайзенберга мы получаем: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dpˆг |
= 0, |
pˆг(0) = pˆш; |
|
|
dxˆг |
= |
pˆг |
xˆг(0) = xˆш. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
m |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.2. РАЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ |
141 |
|||||
Система легко интегрируется: |
|
|
|
|
|
|
pˆг(t) = pˆш = pˆг(0); |
xˆг(t) = xˆш + t |
pˆш |
= xˆг(0) + t |
pˆг(0) |
||
|
|
|
. |
|||
m |
|
m |
||||
При усреднении по произвольной волновой функции (которая в гайзенберговском представлении не зависит от времени) получаем, что в среднем волновой пакет движется с постоянной скоростью:
pˆ t = pˆ 0; xˆ t = xˆ 0 + t |
pˆ 0 |
(5.24) |
|
m |
. |
||
Для вычисления среднеквадратичных отклонений нам понадобятся операторы xˆ2г и pˆ2г :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pˆш |
2 |
|
2 pˆш2 |
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
(pˆшxˆш + xˆшpˆш). |
|||||
pˆг (t) = pˆш; |
|
xˆг (t) = xˆш + t |
|
= xˆш + t |
|
|
+ |
|
||||||||||
|
m |
m2 |
m |
|||||||||||||||
Для среднеквадратичных отклонений получаем: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
δp2 |
t = pˆ2 t − pˆ t2 = δp2 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.25) |
||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
t2 |
2 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
δx |
t = xˆ |
|
t − xˆ t |
= |
|
δp |
0 + |
|
( pˆxˆ + xˆpˆ 0 − 2 xˆ 0 pˆ 0) + δx |
0. |
||||||||
|
m2 |
m |
||||||||||||||||
Линейный по времени член в δx2 t можно обнулить выбором нулевого момента времени, однако для любого t выполняется соотношение неопре-
деленностей¨ δx2 t δp2 t . При больших положительных или отрицательных временах размер волнового пакета неограниченно расплывается, что однозначно говорит нам, что размер волнового пакета действительно никак не связан с размером самой частицы.
5.2.7.Скобка Пуассона и коммутатор*
Втеоретической механике наблюдаемые представляются не эрмитовыми операторами, как в квантовой механике, а функциями от канонических переменных (координат и импульсов), т. е. классическая наблюдаемая имеет вид
F (Q, P, t). |
(5.26) |
Полная производная от классической наблюдаемой (с учетом¨ динамической эволюции системы) имеет вид
dF |
|
∂F |
|
∂F dQa |
|
∂F dPa |
. |
|||
|
= |
|
+ a |
|
|
|
+ |
|
|
|
dt |
∂t |
∂Qa dt |
∂Pa dt |
|||||||
142 |
ГЛАВА 5 |
Производные по времени от координат и импульсов в классической механике выражаются с помощью уравнений Гамильтона:
dQa |
= |
∂H |
|
dPa |
= − |
∂H |
|
|
, |
|
∂Qa . |
||
dt |
∂Pa |
dt |
Где H(Q, P ) — функция Гамильтона, т. е. энергия, выраженная через координаты и импульсы. Функция Гамильтона — тоже наблюдаемая, классический аналог квантового гамильтониана.
Используя уравнения Гамильтона, мы можем переписать полную производную от F :
dFdt = ∂F∂t +
a
∂F ∂H |
− |
∂F ∂H |
|
|
|
|
|
∂Qa ∂Pa |
∂Pa ∂Qa |
||
= ∂F∂t + {F, H}.
{F,H}
Здесь мы обозначили сумму по a через скобку Пуассона {F, H}. Сравнивая получившееся уравнение с уравнением Гайзенберга (5.20),
мы видим, что классическая скобка Пуассона соответствует коммутатору:
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
1 |
|
dF |
|
∂F |
|
dA |
|
∂A |
|
ˆ ˆ |
|
dt |
= |
∂t |
+ {F, H} |
dt |
= |
∂t |
+ |
i¯h |
[A, H], |
{·, ·} i1¯h [·, ·].
Помимо формул для полных производных от наблюдаемых величин очень важную роль играют канонические коммутационные соотношения, для которых также есть классический теоретикомеханический аналог:
1 |
[ˆqa, pˆb] = δab, |
{Qa, Pa} = δab. |
i¯h |
Благодаря соответствию между коммутатором и скобкой Пуассона некоторые выкладки могут переноситься из теоретической механики и обратно с помощью простого изменения обозначений. Например, как будет продемонстрировано ниже, гармонический осциллятор в представлении Гайзенберга колеблется как классический осциллятор «с точностью до шляпок» (т. е. с точностью до замены квантовых наблюдаемых классическими). Похожее соответствие мы наблюдали и выше в разделе 5.2.6 «Пример: Эволюция волнового пакета для свободной частицы», когда изучали