quant-1-1-arphf9t1u8h
.pdf
2.4. ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ (Ф) |
33 |
2.4. Принцип соответствия (ф)
Для того, чтобы состыковать квантовую теорию с надежно¨ установленными и многократно подтвержденными¨ экспериментом и практикой законами классической физики и определить пределы применимости классической физической интуиции, Нильс Бор ввел¨ в 1923 году принцип соответствия:
Если при описании явления применимы две разные теории, то предсказания результатов эксперимента должны соответствовать друг другу.
Однако язык, на котором теории описывают одно и то же явление, может быть совершенно различен, и установление соответствия между различными описаниями может само по себе быть нетривиальной задачей. Также нетривиальной задачей является выяснение того, в каких именно пределах предсказания теорий совпадают. Установление этих пределов важно для определения области применимости каждой теории.
Принцип соответствия — не физический, а общефилософский принцип. Применительно к квантовой механике его обычно формулируют так:
Поведение квантовой системы в пределе больших квантовых чисел соответствует поведению аналогичной классической системы.
Иногда общий принцип формулируют так:
Новая теория должна в некотором пределе воспроизводить предсказания старой, проверенной теории.
Однако такую формулировку следует считать слишком узкой, т. к. новая теория не всегда перекрывает область применимости старой теории полностью. На сегодняшний день у нас нет одной «самой современной» фундаментальной физической теории, а есть несколько хороших фундаментальных физических теорий, каждая из которых хорошо работает в своей области применимости и согласуется с другими теориями там, где их области применимости пересекаются. Вот некоторые примеры теорий и применения к ним принципа соответствия:
Рис. 2.3. Нильс Хенрик Давид Бор (1885–1962). W
•Ньютоновская механика (НМ) — общий предел для всех современных физических теорий для расстояний, времен,¨ масс не слишком больших и не слишком малых, и скоростей много меньше скорости света.
34 |
ГЛАВА 2 |
•Специальная теория относительности (СТО) полностью воспроизводит ньютоновскую механику в пределе малых скоростей.
•Общая теория относительности (ОТО) полностью воспроизводит СТО в пределе малых масс, времен¨ и расстояний (в малой области пространства-времени).
•Нерелятивистская квантовая механика (КМ) полностью воспроизводит НМ в пределе больших расстояний, времен,¨ действий (действие должно быть большое в единицах ¯h, расстояние — в волнах де Бройля и т. д.).
•Квантовая теория поля (КТП) (в виде стандартной модели) полностью воспроизводит КМ в пределе малых скоростей и энергий, полностью воспроизводит СТО в пределе больших расстояний, времен,¨ действий (как КМ воспроизводит НМ). КТП согласуется с ОТО в пределе слабых гравитационных полей, но для сильных гравитационных полей современная КТП не работает.
Мы видим, что среди перечисленных теорий две «самые современные»: ОТО и КТП. Они согласуются между собой, но ни одна не покрывает другую полностью. Конечно, физики мечтают открыть теорию, которая бы воспроизводила в соответствующих пределах и ОТО, и КТП. Есть разные претенденты на роль такой теории, но среди них пока нет общепризнанного.
2.5. Несколько слов о классической механике (ф)
Счастливец Ньютон, ибо картину мира можно установить лишь однажды.
Жозеф Луи Лагранж
Классическая ньютоновская механика столетиями считалась абсолютно точной и окончательной физической теорией. С начала XX века оказалось, что на самом деле она описывает предельный случай не слишком больших и не слишком малых расстояний, времен,¨ масс, скоростей. В своей области применимости, где классическая механика великолепна, она используется до сих пор и будет использоваться всегда. И, согласно принципу соответствия, любая физическая теория должна быть проверена на соответствие с ньютоновской механикой.
2.5. НЕСКОЛЬКО СЛОВ О КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ (Ф) |
35 |
2.5.1. Вероятностная природа классической механики (ф)
Очень трудно сделать точный прогноз, особенно о будущем.
Нильс Бор W
Уравнение Шредингера¨ всегда устойчиво по начальным данным. В классической механике большинство интересных систем неустойчиво, т. е. первоначальная малая ошибка в начальных данных экспоненциально нарастает со временем. Например, по оценке для тороидальной Земли характерное время, за которое малые возмущения состояния двумерной атмосферы увеличиваются в e раз, составляет порядка одной недели: «Например, для вычисления погоды на два месяца вперед¨ нужно иметь в запасе пять знаков точности. Практически это означает, что вычислять погоду на такой срок невозможно»4.
Рис. 2.4. Аттрактор («бабочка») Лоренца — классический пример того, как детерминистическая динамика порождает хаос. Витки кривой проходят сколь угодно близко друг к другу, в результате чего сколь угодно малая ошибка приводит к тому, что со временем мы ошибемся¨ «лепестком». Первоначально аттрактор Лоренца возник при численном исследовании простейшей модели погоды.
В реальности устойчивая механическая система, тем более разрешимая аналитически, — редкая удача. Практически каждая такая система является хорошим нулевым приближением для некоторого класса задач, отталкиваясь от которого можно строить теорию возмущений, внося малые поправки в уравнения и их решения.
4В. И. Арнольд, «Математические методы классической механики», Добавление 2: «Геодезические левоинвариантных метрик».
36 |
ГЛАВА 2 |
Неустойчивость уравнений классической механики работает как своеобразный микроскоп, который вытягивает на макроуровень все¨ более и более мелкие возмущения первоначальной системы. Это приводит к тому, что классическая механика позволяет делать предсказания на сколь угодно длинные сроки только тому, кто знает начальные данные с бесконечной точностью, т. е. может оперировать с бесконечным объемом¨ информации5. (Этот «кто-то» носит гордое имя Демона Лапласа.)
На достаточно больших временах (по сравнению с характерным временем нарастания возмущений) классическая механическая система «забывает» начальные данные (за исключением «хороших»=аддитивных сохраняющихся величин, таких как энергия), и мы можем делать для нее¨ лишь вероятностные предсказания.
2.5.2. Ересь аналитического детерминизма и теория возмущений (ф)
. . . в пространстве ничего не пропадает; если ты оставишь в нем¨ портсигар, так достаточно рассчитать элементы его траектории, прибыть на то же место в надлежащее время, и портсигар, следуя по своей орбите с астрономической точностью, попадет¨ к тебе в руки в заранее рассчитанную секунду.
С. Лем, рассказ «Патруль», серия «Приключения зв¨ездного навигатора Пиркса»
Рис. 2.5. Демон Лапласа (Laplace No Ma) по версии японских мультипликаторов.
[ c P-G/R]
Простейшие классические механические системы, такие как гармонический осциллятор, часто бывают и устойчивы, и аналитически решаемы, и тем самым, вдвойне не типичны. Это одна из причин того, за что их любят в школе и на младший курсах. Конечно, приятно, когда уравнения решаются аналитически. Именно точные аналитические решения производят впечатление наиболее «настоящих». Кому-то возможно кажется, что все уравнения должны так решаться. Такую точку зрения в комбинации с лапласовским детерминизмом можно было бы назвать «аналитическим детерминизмом». Сам Лаплас «аналитического детерминизма», скорее всего, не придер-
5Чтобы задать произвольное вещественное число, необходимо знать бесконечное количество цифр после запятой. В теории случайных процессов вещественное число является одной из стандартных моделей случайного процесса, поскольку с помощью вещественных чисел из отрезка [0, 1] можно пронумеровать все бесконечные последовательности цифр.
2.6. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ (Ф) 37
живался, и своего демона придумал исключительно как мысленный эксперимент, ведь в своих астрономических вычислениях ему приходилось вместо точных аналитических решений пользоваться последовательными приближениями теории возмущений.
Теория возмущений сегодня строится в рамках различных физических теорий, но исторически первой была как раз небесная механика. Основную идею теории возмущений можно описать так: мы упрощаем изучаемую систему настолько, чтобы появились простые решения (так называемые «невозмущенные¨ решения», очень приятно, когда это точные аналитические решения), после чего ищем решения исходной системы в виде «невозмущенные¨ решения» + «поправки».
Например, рассматривая движение планет, лун, комет и других тел солнечной системы, мы сперва учитываем только притяжение планет к Солнцу
илун к соответствующим планетам, считая при этом Солнце, планеты и луны материальными точками и пренебрегая ускорениями планет при расчете¨ движения лун. В этом приближении планеты и луны движутся по замкнутым эллиптическим орбитам, в соответствии с законами Кеплера. После этого мы начинаем вводить разные поправки: учитываем те силы гравитационного притяжения и силы инерции, которыми первоначально пренебрегли, учитываем, что небесные тела не точки, а стало быть действуют еще¨ и приливные силы, что приливные силы могут вызывать в веществе трение и переводить механическую энергию в тепловую, что кометы при движении вблизи Солнца теряют вещество и т. д. и т. п.
Первым крупным успехом классической теории возмущений следует, вероятно, считать открытие в 1846 году планеты Нептун, ранее предсказанной на основе анализа возмущений других планет.
На сегодня понятно, что в большинстве теорий (как классических, так
иквантовых) точное аналитическое решение — скорее счастливое исключение, чем правило. Тем не менее, кажется, что бессознательный аналитический детерминизм продолжает оставаться мировоззрением многих людей, которые далеки от науки, но «верят в науку». Во всяком случае, в художественной литературе подобные настроения частенько проскальзывают.
2.6. Теоретическая механика классическая и квантовая (ф)
После того как Ньютон сформулировал законы Ньютона и создал на их основе классическую механику, считавшуюся незыблемой вплоть до создания специальной теории относительности (СТО), развитие механики не прекратилось.
38 |
ГЛАВА 2 |
Выдающимися математиками и механиками был разработан принцип экстремального действия (2.7.1 «Механика и оптика геометрическая и волновая (ф)»), на основе которого был дан ряд исключительно изящных формулировок классической механики, в которых характер механической системы полностью описывался заданием некоторой функции (лагранжиан или гамильтониан6), а конкретное состояние системы описывалось как точка некоторого абстрактного фазового пространства (или как распределение в этом пространстве).
По существу был разработан специальный математический язык для описания механических теорий (моделей) с конечным числом степеней свободы. Этот язык оказался настолько удачным, что появившаяся в начале XX века специальная теория относительности также была описана на этом языке.
Модификации теоретической механики для систем с бесконечным числом степеней свободы столь же изящно описывают механику сплошной среды и классические теории поля (первой из которых была электродинамика Максвелла).
Мощный математический аппарат классической теоретической механики не пригоден для описания квантовой механики. Однако он может быть модифицирован для квантового случая.
Существенная часть данной книги — изложение теоретической квантовой механики для систем с конечным числом степеней свободы. Подобно классической теоретической механике, это специальный язык для описания физических теорий, который содержит квантовый гамильтониан (описывает характер физической системы) и квантовые состояния. Между гамильтонианами соответствующих систем в классической и квантовой механике будет установлено соответствие, хотя и не однозначное7.
Как и в классическом случае, обобщение квантовой механики на бесконечное число степеней свободы даст квантовую теорию поля (КТП). Переход к релятивистскому случаю потребует не только замены гамильтонианов, но и одновременно перехода к квантовой теории поля, поскольку при больших энергиях становятся существенными процессы рождения частиц, а значит число степеней свободы оказывается переменным (потенциально бесконечным).
6Лагранжиан (функция Лагранжа) — разность кинетической и потенциальной энергий, выраженная как функция от обобщенных¨ координат и скоростей. Гамильтониан (функция Гамильтона) — суммарная энергия, выраженная как функция обобщенных¨ координат и импульсов.
7Квантовая (теоретическая) механика систем с конечным числом степеней свободы оказывается похожа на классическую теорию поля (классическую механику с бесконечным числом степеней свободы). В частности, это позволит вывести уравнение Шредингера¨ из вариационного принципа, как классические уравнения поля (4.11 «Вариационный принцип»).
2.7. НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ ОПТИКЕ (Ф) |
39 |
2.7. Несколько слов об оптике (ф)
В классической оптике можно выделить три эпохи:
•Геометрическая оптика,
•Волновая оптика,
•Волновая оптика как раздел классической электродинамики. Геометрическая оптика похожа на классическую механику, а волно-
вая оптика обладает многими существенными чертами квантовой теории. Благодаря этому мы сможем многое понять в квантовой механике, просто по-новому взглянув на оптику и ее¨ историю в сравнении с механикой классической и квантовой.
Позднее, в разделе 12.11 «Квантованные поля» (ф*) мы обсудим связь между классической и квантованной теориями поля на более детальном (хотя и не исчерпывающем) уровне.
2.7.1. Механика и оптика геометрическая и волновая (ф)
Как известно, классическая механика была создана Ньютоном («Philosophiae Naturalis Principia Mathematica», 1687) по образу и подобию геометрии. В своих «Математических началах натуральной философии» Ньютон не писал формул, а в подражание «Началам» Евклида (1-е печатное издание: «Elementa geometriae», 1482) описывал все законы на геометрическом языке.
w(x)
x
Рис. 2.6. Прохождение света через 2 щели в геометрической оптике.
40 |
ГЛАВА 2 |
w(x)
exp(i t1)
exp(i t2)
exp(i t1 f)
exp(i t2 f)
x
Рис. 2.7. Интерференция на 2 щелях.
Мопертюи («Essay de Cosmologie», 1750), Эйлер («Reflexions sur quelques loix generales de la nature», 1748), Лагранж («Mecanique´ analytique», Париж, 1788) и Гамильтон («On a general method in Dynamics», Philosophical Transactions, 1834, 1835) переформулировали классическую ньютоновскую (геометрическую) механику по образу и подобию геометрической оптики. Согласно принципу Ферма (ок. 1660), свет распространяется по траекториям с экстремальным (часто минимальным) временем прохождения. Аналогично, согласно принципу экстремального действия, движение механической системы происходит таким образом, чтобы функционал действия S[x(t)] вдоль траектории x0(t) был экстремален. Но если в геометрической оптике траектория луча света была кривой в трехмерном¨ физическом пространстве, то в теоретической механике траектория системы — кривая в конфигурационном пространстве, точки в котором задаются совокупностью обобщенных¨ координат всех частей системы.
Однако вскоре выяснилось, что распространение света более правильно описывается волновой оптикой. Вместо отдельных лучей в том же физическом пространстве следует рассматривать волну. Согласно принципу Гюйгенса – Френеля (1816 г.), каждая точка фронта световой волны может рассматриваться как источник вторичных волн, интерференция которых, с учетом¨ фазы, задает¨ дальнейшее распространение света. При этом фаза волны определяется как eiωt, где t — время распространения. То самое время, которое входило в принцип Ферма.
Если многократно повторять построение вторичных волн, каждый раз разбивая волновые фронты на много мелких участков, то нам придется¨
2.7. НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ ОПТИКЕ (Ф) |
41 |
w(x)
x
Рис. 2.8. Интерференция на бесконечном числе щелей в бесконечном числе ширм. Экраны «состоят из щелей», т. е. в действительности никаких ширм нет, зато есть интерференция света, идущего по всем возможным путям из источника в данную точку на экране.
вычислять время распространения вдоль всевозможных траекторий луча света, после чего суммировать фазы тех траекторий, которые встречаются в нужной точке. Т. е. в волновой оптике свет распространяется по всем траекториям одновременно, постоянно интерферируя сам с собой (см. раздел 3.2).
Волновая (квантовая) механика в той части, в которой она описывает свободную эволюцию замкнутой системы, относится к теоретической механике так же, как волновая оптика относится к геометрической. В квантовой механике вместо отдельных траекторий в том же конфигурационном пространстве следует рассматривать волну (волновую функцию). И тот же функционал действия S[x(t)], экстремальное значение которого определяло разрешенные¨ траектории x0(t) в классической механике, в квантовой определяет фа-
S[x(t)] волновой функции.
Поскольку действие — размерная величина, в показателе экспоненты она делится на постоянную ¯h с размерностью действия — постоянную
Рис. 2.9. Луи Виктор Пьер Раймон, 7-й герцог Брольи (Луи де Бройль), 1929 г. (1892–1987). W
42 |
ГЛАВА 2 |
Планка. Постоянную Планка можно положить равной 1 и рассматривать как естественную единицу действия.
«Размерность действия» = «расстояние» × «импульс» = «время» × × «энергия».
Рис. 2.10. Макс Планк (1858–1947) вручает Альберту Эйнштейну (1879–1955) медаль Макса Планка, 1929 г. W
Положив постоянную Планка единицей, мы тем самым выбираем в качестве единицы импульса обратную единицу длины, а в качестве единицы энергии — обратную единицу времени. Таким образом, размерность импульса совпадает с размерностью волнового вектора, а размерность энергии — с размерностью частоты. Из специальной теории относительности мы знаем, что круговая частота ω вместе с волновым вектором k образуют четырехмерный¨ волновой вектор ki = = (ω, k). Аналогично энергия E и импульс p образуют четырехмерный¨ импульс pi = (E, p). Как было показано Планком, на примере излучения черного¨ тела, и Эйнштейном, на примере фотоэффекта, четырехмерный¨ импульс кванта электромагнитного излучения (фотона) и волновой вектор соответствующей волны являются одним и тем же объектом, выраженным в разных единицах:
pi = ¯hki E = ¯hω, p = ¯hk. (2.1)
Де Бройль догадался, что любой частице с определенным¨ 4-импульсом соответствует некоторая волна, чей волновой 4-вектор выражается той же формулой.
2.7.2. Комплексная амплитуда в оптике и число фотонов (ф*)
Рассмотрим поле плоской монохроматической электромагнитной волны. Электрическое поле в какой-то точке пространства может быть задано
как
E = Re (A exp(−iωt)) = Re (A) cos(ωt) + Im (A) sin(ωt).
Здесь A — комплексная амплитуда электромагнитной волны. Векторы E и A перпендикулярны волновому вектору электромагнитной волны, т. е. мы можем рассматривать A как двумерный комплексный вектор, например, в плоскости (x, y), если волна бежит по z. На этой плоскости мы можем вводить различные ортонормальные базисные векторы, которым соответствуют разные взаимоисключающие поляризации, например, базис (1, 0),