quant-1-1-arphf9t1u8h

4.4. УМНОЖЕНИЕ СПРАВА, СЛЕВА, . . . СВЕРХУ, СНИЗУ И НАИСКОСОК** 83

быть удобнее вместо схемы, изображающей ход проводков, просто пометить соответствующие проводки одинаковыми метками.

Этому подходу соответствуют тензорные обозначения: узлы (буквы) несут верхние кет-индексы и нижние бра-индексы. Если в одном члене верхний индекс совпал с нижним, то соответствующие проводки/индексы соединяются/приравниваются и интегрируются или суммируются. Знак суммы или интеграла обычно при этом опускается.

Индекс, который встречается в каждом члене формулы один раз, — свободный индекс. Индекс, который встречается в каждом члене формулы два раза (один раз сверху и один раз снизу), — немой индекс.

В каждом члене формулы должен быть одинаковый набор свободных индексов. Если одинаковый индекс встретился в одном члене формулы два раза сверху или два раза снизу, то такая формула является бессмысленной.

Чтобы случайно не приравнять индексы, имеющие разные области определения, их удобно обозначать буквами из разных алфавитов (или разных участков одного алфавита).

Тензорные обозначения в квантовой механике часто применяются в виде спинорных обозначений, когда объекты несут только спиновые индексы, каждый из которых пробегает два значения.

4.4.3. Дираковские обозначения для сложных систем*

Дираковские обозначения соответствуют следующему правилу соединения проводков/индексов: сперва выкладываются в определенном¨ порядке все бра-индексы, потом в обратном порядке выкладываются соответствующие кет-индексы, и начиная от середины их попарно соединяют. Таких серий бра-кет в одном члене может быть несколько. Например, если мы считаем матричный элемент для волновых функций с тремя индексамиаргументами, для случая, когда кет-вектор с тремя индексами представлен как произведение трех¨ кет-векторов с одном индексом:

Если оператор записан в виде тензорного произведения, то это предполагает упорядочение индексов, при котором сперва выписываются все кетиндексы, а потом все бра-индексы обоих операторов:

ем волновую функцию на единицу, но, рассматривая волновую функцию после измерения, может быть удобно нормировать волновую функцию на вероятность рассматриваемого исхода.

Если до измерения система находилась в состоянии |ψ , в результате измерения некоторой дискретной величины k система попадает в одно из ортогональных состояний |φk . Причем,¨ мы можем отнормировать эти состояния так, что

где pk — вероятность исхода номер k.7

Волновые функции |φk получаются из |ψ с помощью соответствую-

ˆ

щего данной измеряемой величины набора проекторов Pk:

k

ˆ

Проекторы Pk отображают векторы состояния на одномерное подпространство, если для данного k существует только одно линейнонезависимое собственное состояние (невырожденное состояние). В общем

ˆ

случае размерность области значений оператора Pk может быть произвольной, в том числе бесконечной.

Мы могли бы попытаться вообще запретить использование волновых функций, которые не нормированы на единицу, но это было бы не удобно, поскольку множество единичных векторов не образует линейного пространства. Вместо этого мы считаем, что все волновые функции, отличающиеся друг от друга на числовой множитель, описывают одно и то же физическое состояние. Это позволяет отнормировать на единицу любое сос-

eiα, — произвольный фазовый множитель. Таким образом даже нормировка оставляет возможность описывать одно физическое состояние разными (получаемыми друг из друга умножением на фазовый множитель) волновыми функциями.

4.5.3.Физический смысл скалярного произведения

Вданном разделе мы снова получим и обсудим выводы раздела 3.1.5 «Амплитуда при измерении и скалярное произведение».

Вероятность pk некоторого исхода измерения из раздела 4.5.2 можно записать в следующем виде:

Однако при этом начальная волновая функция ψ и конечная — φk нормированы по-разному: одна на единицу, а другая на вероятность.

Если обе волновые функции, начальную ψ и конечную φ, отнормировать на единицу, то скалярное произведение дает¨ амплитуду вероятности того, что система, находившаяся в состоянии ψ, будет обнаружена в состоянии ϕ. Другими словами, мы имеем систему в состоянии ψ и ставим опыт, который должен ответить на вопрос: «А не находится ли система в состоянии ϕ?» Причем¨ если ответ будет положительным, то система и в самом деле окажется в этом состоянии. Скалярное произведение

= ψ|(|ϕ ϕ|)|ψ = ψ|Pϕ|ψ = tr(PψPϕ), (4.29)

8В классической теории мы бы имели всегда вероятность 0 для несовпадающих чистых состояний (состояний с определенными¨ значениями координат и импульсов) и вероятность 1 для совпадающих чистых состояний. В квантовой теории мы можем подобрать такой набор состояний, что квадрат каждого равен 1, а скалярное произведение разных состояний будет давать 0. Причем¨ мы сможем задать базис из таких взаимоисключающих состояний. Но поскольку пространство состояний является линейным пространством, в него будут попадать и всевозможные линейные комбинации базисных векторов, которые соответствуют тому, что различные взаимоисключающие состояния имеют место одновременно с некоторой амплитудой вероятности. В классической механике мы тоже можем получать при измерении различные значения с некоторыми вероятностями, для смешанных состояний, задаваемых распределениями вероятностей.

Причем¨ условия нормировки для базисных векторов задают одновременно компоненты базисных векторов по базису, к которому эти векторы относятся, т. е. φx0 (x) = φx|φx0 , т. к. и то, и другое определяется скалярным произведением выбранного базисного вектора на все векторы базиса.

Таким образом, базисные векторы дискретного спектра нормируются на δ-символ:

А базисные векторы непрерывного спектра нормируются на δ-функцию:

Для базисных векторов непрерывного спектра скалярный квадрат оказывается не определен,¨ т. е. вероятности для состояния, описываемого такими состояниями, не могут быть отнормированы на единицу! В этом состоит существенное отличие от базисных векторов дискретного спектра, которые нормированы на единицу и представляют собой вполне «хорошие» векторы чистых состояний.

Строго говоря, базисные векторы непрерывного спектра вообще не относятся к пространству состояний H, поскольку для всех векторов состояний задано скалярное произведение.

Обратите внимание, что уравнения (4.32), (4.33) эквивалентны условию нормировки (4.31), но аналогичные уравнения (4.35), (4.36) не эквивалентны условию нормировки (4.34) (бесконечности, в отличие от единиц, бывают разные). А учитывая, что δ-функция обладает свойством δ(ax) =

=δ(x) (для одномерной переменной x), мы видим, что нормировка одной-

|a|

единственной функции непрерывного спектра невозможна. Нормируется сразу набор векторов непрерывного спектра, причем¨ нормировка зависит от нумерации векторов: замена x → ax требует изменения нормировки базисных φx → √φxa .

При работе с состояниями непрерывного и дискретного спектра обычно условие квадратичной интегрируемости волновой функции заменяют на более мягкое условие локальной (на любом конечном интервале) квадратичной интегрируемости и ограниченности на бесконечности.

4.6.2. Природа состояний непрерывного спектра*

Итак, рассматривая базисные векторы непрерывного спектра, мы невзначай вылезли из первоначально постулируемого пространства H квадратично интегрируемых (суммируемых) функций. Оказывается, что такие векторы вроде уже и не состояния, и скалярное произведение с их участием определено не всегда: когда надо посчитать соответствующую этому базисному вектору компоненту «хорошего» состояния ψ(x) = φx|ψ , то скалярное произведение определено, а когда надо посчитать скалярный квадратφx|φx — оно вдруг отказывается работать, но выдает¨ нечто осмысленное, если взять φx|φy . Попытаемся понять, что же это такое с двух точек зрения: с точки зрения физики, и с точки зрения математики.

С точки зрения физики ненормируемые состояния не могут быть реализованы, поскольку суммарная вероятность всех исходов не должна превышать единицу. Таким образом, состояния непрерывного спектра физически нереализуемы. Таким образом, если физическая величина имеет непрерывный спектр возможных значений, то не существует состояний, в которых ее¨ значение из непрерывного спектра было бы определено однозначно. Это также означает, что значение величины из непрерывного спектра может быть измерено только с конечной точностью. Это относится, например, к состояниям, в которых определено значение координаты.

Однако мы можем приближать функцию непрерывного спектра «хорошими» квадратично интегрируемыми функциями, и такое приближение будет в некотором смысле сходиться, т. е.

ψ D H lim ψn|ψ = φx0 |ψ = ψ(x0).

n→∞

Например, мы можем приближать дельта-функцию узкими и высокими прямоугольными импульсами или гауссовыми кривыми с единичным интегралом.

Таким образом мы можем приближать невозможное состояние непрерывного спектра, в котором x определен¨ с бесконечной точностью «хорошими» состояниями, в которых x определен¨ с конечной (но сколь угодно малой) неопределенностью¨. Невозможное состояние непрерывного спектра при этом оказывается некоторой вполне законной идеализацией. Да, для