quant-1-1-arphf9t1u8h
.pdf
6.3. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ |
193 |
В частности, это означает, что при рассеянии на симметричной прямоугольной потенциальной яме (6.6) коэффициент отражения должен обращаться в нуль (при вырезании участка (−a2 , + a2 ) яма как бы исчезает) при выполнении следующего условия:
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k a = |
¯h 2m(E + V ) = πn, n N. |
|||||
Действительно, если проделать соответствующие выкладки12, то для |
||||||
такой ямы |
|
|
|
|
|
|
R = |
|
(k 2 − k2)2 sin2(k a) |
|
= |
||
(2k k)2 cos2(k a) + (k 2 + k2)2 sin2 |
|
|||||
|
(k a) |
|||||
|
|
|
2mV sin2(k a) |
|
|
|
= |
|
|
¯h2 |
|
. |
|
(2k k)2 cos2(k a) + (k 2 + k2)2 sin2 |
|
|||||
|
(k a) |
|||||
При указанных (резонансных) условиях R = 0.
При k a ≈ π(n + 12 ) также наблюдается резонанс, но не для прохождения, а для отражения.
При работе с кусочно-постоянными потенциалами наличие резонансного рассеяния можно использовать для проверки полученного ответа.
12Читатель может проделать это в качестве упражнения.
ГЛАВА 7
Эффекты теории измерений
Если квантовая теория не потрясла тебя — ты ее¨ еще¨ не понял.
Нильс Бор W
7.1. Классическая (колмогоровская) вероятность (л*)
Предполагается, что читатель имеет некоторое (на физическом уровне строгости) представление о теории вероятностей. Однако, прежде чем обсуждать тонкие различия квантовых и классических вероятностей, полезно строго сформулировать, что же такое классическая вероятность.
На протяжении столетий понятие вероятности формулировалось на полуинтуитивном уровне, как частота случайных событий, что отсылало нас к плохо определенному¨ понятию случайности. Многие математики пытались формализовать это определение.
На сегодняшний день мы имеем теорию вероятностей, основные понятия которой были сформулированы А. Н. Колмогоровым в 1933 году вообще без отсылок к случайности1, вместо этого вероятность рассматривается как мера (обобщение площади, объема,¨ массы и вообще количества) на некотором вероятностном пространстве.
1Интересно, что уже после создания аксиоматики теории вероятностей, А. Н. Колмогоров исследовал возможность формализации понятия случайности, действуя в русле старой, доколмогоровской теории вероятностей. При этом были получены интересные результаты, но задача так и не была полностью решена.
7.1. КЛАССИЧЕСКАЯ (КОЛМОГОРОВСКАЯ) ВЕРОЯТНОСТЬ (Л*) |
195 |
Интересно, что к моменту создания квантовой теории у математиков еще¨ не было математически последовательной аксиоматической теории вероятностей. Лишь после возникновения квантовой теории, для которой понятие вероятности является центральным, была создана классическая аксиоматика теории вероятности. При этом классическое понимание вероятности полезно, но в некоторых случаях недостаточно для квантовой теории2.
7.1.1. Определение вероятностного пространства**
Вероятностное пространство — это тройка
(Λ, Σ, P ),
состоящая из непустого множества Λ — пространство элементарных событий, некоторой сигма-алгебры Σ, состоящей из подмножеств множества Λ — множество событий,
Λ, Σ; A, B Σ : A ∩ B, A B Σ,
Ak Σ, k N : |
k/ |
Σ; |
|
|
Ak |
|
|||
|
N |
|
|
|
и вероятностной меры (вероятности) P : |
|
|
|
|
P : Σ → [0, 1], P (Λ) = 1, |
P ( ) = 0. |
|
||
A, B Σ, A ∩ B = : P (A B) = P (A) + P (B), |
||||
|
|
/ |
k |
|
|
|
|
|
|
Ak Σ, k N, k =k N, Ak ∩Ak = : P |
Ak = |
P (Ak). |
||
|
|
k |
N |
N |
7.1.2. Смысл вероятностного пространства*
Обсудим смысл введенных¨ выше понятий. Мы имеем пространство элементарных событий Λ, однако может оказаться, что некоторые из этих событий имеют нулевую вероятность, но конечная вероятность может быть приписана некоторым диапазонам пространства Λ. Это типичная ситуация для непрерывного распределения вероятностей.
2К сожалению, гуманитарная культура в понимании вероятности и случайности в массе своей застряла в наивном классическом детерминизме, не усвоив даже классической вероятности. См. 2.5.2 «Ересь аналитического детерминизма и теория возмущений (ф)».
196 |
ГЛАВА 7 |
По этой причине, помимо пространства элементарных событий Λ, вводится множество событий Σ, для которых определено значение вероятности. События можно совмещать (пересекать, на языке теории множеств) и объединять. Причем¨ объединять можно как конечные, так и счетные¨ наборы событий. Допустимость таких операций заложена в определение Σ.
Мера P — это и есть вероятность. Она ставит в соответствие событиям числа от 0 до 1, причем¨ при объединении (конечном или счетном)¨ непересекающихся (взаимно исключающих) событий их вероятности складываются.
7.1.3. Усреднение (интегрирование) по мере*
Функция на вероятностном пространстве называется случайной величиной
A: Λ → R.
Спомощью вероятностной меры P мы можем определить интеграл по пространству Λ, который задает¨ среднее соответствующей случайной
величины:
A = A(λ) P (dλ).
Λ
При этом мы можем понимать это выражение как предел интегральных сумм (интеграл Лебега), в которых P (dλ) — мера («длина») бесконечно
короткого интервала:
P (dλ) = P (λ, λ + dλ] .
Такой интеграл (если мы умеем брать обычные интегралы по Λ) может быть записан как сумма по элементарным событиям с ненулевой вероятностью и интеграл с некоторым весом (λ) по непрерывной части распределе-
ния вероятностей: |
|
A(λ) P ({λ}) + |
|
||
|
A(λ) P (dλ) = |
A(λ) (λ) dλ. |
|||
λ Λ1 |
|||||
Λ |
|
|
Λ2 |
|
|
Читатель, уже знакомый с квантовой механикой, может легко узнать здесь дискретный спектр Λ1 и непрерывный спектр Λ2. Множества, состоящие из одной точки имеют ненулевую вероятность, если эта точка принадлежит Λ1.
7.1.4.Вероятностные пространства в квантовой механике (ф*)
Вквантовой механике вероятностное пространство сопоставляется каждому процессу измерения. При этом оно зависит не только от текущего состояния системы (волновой функции ψ или матрицы плотности ρˆ),
ˆ
но и от измеряемой наблюдаемой A.
¨ |
197 |
7.2. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ |
Для каждой наблюдаемой мы можем решить спектральную задачу и получить набор собственных чисел Λ, который является пространством элементарных событий, при измерении данной наблюдаемой. Пространство Σ порождается (получается с помощью пересечения и счетного¨ объединения) из всевозможных открытых и замкнутых интервалов на Λ R.
Также при решении спектральной задачи мы получаем набор проекторов на собственные подпространства, соответствующие каждому из собственных чисел λ. Точнее (особенно при наличии непрерывного спектра)
ˆ
говорить не о наборе проекторов, а о проекторнозначной мере P (см. раздел 5.3.1), которая сопоставляет каждому «хорошему» подмножеству L Σ проектор на объединение собственных пространств для всех λ L.
ˆ
Вероятностная мера P (уже без шляпки!) получается усреднением P по квантовому состоянию (ψ или ρ):
ˆ |
ˆ |
P (L) = ψ|P (L)|ψ или |
P (L) = tr(P (L) ρˆ). |
Среднее (совпадающее с квантовым средним) определяется как интеграл от собственного числа по этой вероятностной мере:
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
ψ|A|ψ = λ P (dλ) = λ ψ|P (dλ)|ψ , |
|
|
Λ |
Λ |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
A ρ = tr(A ρˆ) = |
λ P (dλ) = λ tr(P (dλ) ρˆ). |
|
|
Λ |
Λ |
Принципиально важно, что вероятностные пространства, возникающие в квантовой механике, зависят от измеряемой величины. Как следует из нарушения неравенства Белла, определить вероятностное пространство без использования измеряемой величины в рамках локальной теории невозможно.
7.2. Соотношения неопределенностей¨
7.2.1. Соотношения неопределенностей¨ и (анти)коммутаторы
Для пары величин, описывающихся некоммутирующими эрмитовыми
ˆ ˆ
операторами A и B, невозможно задать общий базис собственных функций, т. е. базис состояний, в каждом из которых обе величины однозначно определены. Это накладывает принципиальные ограничения на одновременную
ˆ ˆ
измеримость A и B.
198 |
ГЛАВА 7 |
Соотношение неопредел¨нностей позволяет охарактеризовать эти ограничения количественно через среднеквадратичные отклонения.
Исследуем величину следующего вида:
|
2 |
2 |
ˆ |
|
ˆ 2 |
ˆ ˆ |
2 |
. |
X = (δA) |
(δB) |
= (A |
− A ) |
(B − B ) |
||||
Пусть |ψ — некоторое произвольное нормированное на единицу со- |
||||||||
стояние. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим для данного |ψ смещенные¨ операторы: |
|
|
||||||
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
A0 |
= A − ψ|A|ψ , |
B0 |
= B |
− ψ|B|ψ . |
|
|
||
Для коммутаторов ([·, ·]) и антикоммутаторов ([·, ·]+) мы можем написать следующие очевидные соотношения:
|
|
ˆ |
[A,ˆ Bˆ] = iCˆ =,0 |
|
Cˆ = Cˆ†, |
|
||
|
|
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
|
[A0 |
, B0] = A0B0 |
− B0A0 |
= [A, B] = iC, |
|||
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ |
|
[A0 |
, B0 |
]+ = A0B0 |
+ B0A0 = D0, |
|
[A, B]+ = AB + BA = D, |
|||
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
ψ|D0|ψ = ψ|D|ψ − 2 ψ|A|ψ ψ|B|ψ . |
||||||
Теперь X расписывается как произведение скалярных квадратов, для которого существует оценка снизу через скалярное произведение:3
ˆ2 |
|
|
ˆ2 |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ψ |
|
X = ψ|A0 |
|ψ ψ|B0 |
|ψ = A0 |
ψ|A0 |
ψ B0 |
ψ|B0 |
||||
ˆ |
ˆ |
ψ| |
2 |
|
ˆ ˆ |
2 |
|
|
|
|A0ψ|B0 |
|
= |ψ|A0B0|ψ| . |
|
|
|||||
Произведение операторов расписывается через коммутатор и антикоммутатор:
ˆ |
ˆ |
|
1 |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
ˆ ˆ |
]+) = |
1 |
ˆ |
ˆ |
|
|
A0B0 |
= 2 |
([A0, B0 |
] + [A0B0 |
2 |
(D0 |
+ iC), |
|
|||||||||
ψ|Aˆ0Bˆ0|ψ = ψ| |
1 |
+ iCˆ)|ψ = |
1 |
ψ|Dˆ 0|ψ + i ψ|Cˆ|ψ . |
||||||||||||
2 (Dˆ 0 |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
ˆ |
ˆ |
эрмитовы, средние от них вещественны: |
|||||||||||
Поскольку операторы C и D0 |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
X |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
= |
|||
|ψ|Aˆ0Bˆ0|ψ| = |
ψ|Dˆ 0|ψ + i ψ|Cˆ|ψ |
|||||||||||||||
= |
4 |
|
ψ Dˆ 0 ψ |
|
+ |
|
ψ |
Cˆ ψ |
|
. |
|
|
|
|
||
|
| |
| |
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
||||
3Мы применяем неравенство Коши – Буняковского, согласно которому |ψ|φ| ψ·φ , причем¨ неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда ψ и φ коллинеарны.
¨ |
199 |
7.2. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ |
Соотношение
|
|
1 |
ψ|Dˆ |
|
|
2 |
+ ψ|Cˆ|ψ |
2 |
|
|
|
||||
X |
4 |
0|ψ |
|
, |
|
(7.1) |
|||||||||
2 |
|
|
2 |
|
1 |
ˆ |
ˆ |
]+ |
2 |
+ |
1 |
ˆ ˆ |
2 |
|
|
т. е. (δA) |
(δB) |
4 |
[A0, B0 |
|
4 |
i[A, B] |
, |
||||||||
мы будем называть обобщ¨енным соотношением неопредел¨нностей. Обычно используют более слабое соотношение неопредел¨нностей
X |
1 |
ˆ |
2 |
|
т. е. |
2 |
2 |
|
1 |
ˆ ˆ 2 |
|
(7.2) |
4 |
ψ|C |
|ψ |
, |
(δA) |
(δB) |
4 |
i[A, B] |
. |
Для пары из оператора координаты и соответствующей компоненты импульса [ˆx, pˆ] = i¯h, и мы получаем
(δx)2 (δp)2 14 ¯h2.
Обобщенное¨ соотношение неопределенностей¨ (7.1) обычно переписывается через коэффициент корреляции
r = |
|
21 [A0, B0]+ |
21 [A, B]+ − A B |
|||||
|
|
= |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||
|
(δA)2 (δB)2 |
|
(δA)2 (δB)2 |
|
||||
Перенеся антикоммутатор в левую часть неравенства и выразив его через r, выводим обобщенное¨ соотношение неопределенностей¨ в виде, первоначально полученном Робертсоном и Шредингером¨ в 1930 году:
|
|
|
|
ˆ ˆ |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
1 i[A, B] |
|
|
|
|
(δA) |
(δB) |
4 |
1 − r2 |
. |
(7.3) |
||
7.2.2. Так что же мы посчитали? (ф)
Так что же мы посчитали? Каков физический смысл полученных соотношений неопределенностей?¨
Во-первых, мы более аккуратно, с учетом¨ всех числовых констант, уточнили и обобщили выводы раздела 2.7.3 «Преобразование Фурье и соотношения неопределенностей»¨. То есть связали между собой среднеквад-
ˆ ˆ
ратичную ширину волновых пакетов по переменным A и B. Тем самым мы получили ограничение на то, какие вообще бывают состояния, без рассмотрения какого-либо измерения.
200 ГЛАВА 7
Во-вторых, мы ответили на вопрос об экспериментальных неопределенностях,¨ но эти неопределенности¨ соответствуют иному случаю, чем случай микроскопа Гайзенберга.
Рассматривая микроскоп Гайзенберга, мы исследовали случай последовательного измерения координаты и импульса для одной и той же системы и оценивали разброс результатов. То есть мы рассматривали ансамбль одинаковых систем в одинаковом начальном состоянии, над каждой из которых выполняется последовательно измерение координаты и импульса.
Здесь мы оцениваем квантовомеханический разброс (среднеквадратич-
ˆ ˆ
ные отклонения) наблюдаемых A и B для одного и того же состояния. Это соответствует тому, что мы рассматриваем ансамбль одинаковых систем в одинаковом начальном состоянии, над каждой из которых выполняется
ˆ ˆ
измерение A или B (например, измерение координаты или импульса). То есть над каждой системой выполняется измерение только одной из двух некоммутирующих величин, и одно измерение «не мешает» (не изменяет состояние) для другого, поскольку другое измерение производится над другой (или заново приготовленной) системой.
7.2.3. Когерентные состояния
Наводящие соображения*
Исследуем, при каких условиях обобщенное¨ соотношение неопределенностей¨ (7.1) и обычное соотношение неопределенностей¨ (7.2) могут обращаться в равенства.
Для того, чтобы обобщенное¨ соотношение неопределенностей¨ (7.1) стало равенством, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Aˆ0ψ|Aˆ0ψ Bˆ0ψ|Bˆ0ψ = |
Aˆ0 |
ψ|Bˆ0 |
ψ 2 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
A0|ψ |
и |
B0 |
|ψ |
были |
пропорциональны |
|
что равносильно тому, что векторы ˆ |
ˆ |
|
||||
друг другу.
Таким образом, необходимое и достаточное условие обращения обоб-
щенного¨ соотношения неопределенностей¨ в равенство: |
|
|||
ˆ |
ˆ |
|
ˆ ˆ |
(7.4) |
(αA0 |
+ βB0)|ψ = 0 |
(αA + βB)|ψ = Z|ψ Z C. |
||
Состояния (7.4) мы будем называть обобщ¨енными когерентными состоя-
ˆ ˆ
ниями для пары операторов A, B.
¨ |
201 |
7.2. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ |
Для того, чтобы обычное соотношение неопределенностей¨ обратилось в равенство, в дополнение к (7.4) следует потребовать обнуления среднего от антикоммутатора:
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
]+|ψ = 0, |
|
|
|
ˆ |
|
|
ψ|[A0, B0 |
|
|
|||||
ˆ |
|
|
|
ˆ |
ˆ 2 |
|ψ = 0 |
|
|||
(αA0 |
+ βB0)|ψ = 0 |
(αA0 |
+ βB0) |
|||||||
|
2 |
ˆ2 |
2 |
ˆ2 |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
ψ|α |
A0 |
+ β |
B0 |
|
+ αβ[A0, B0]+|ψ = 0. |
|
|||
Получаем, что следующие выражения должны быть равны нулю:
|
|
2 |
ˆ2 |
2 |
ˆ2 |
|
|
ˆ |
ˆ |
]+ = 0. |
|
|
|
α |
A0 + β |
B0 = −αβ [A0 |
, B0 |
||||||
ˆ2 |
ˆ2 |
неотрицательны, если они отличны от нуля, то |
|||||||||
A0 |
и B0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
α |
2 |
|
ˆ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
B0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
β2 |
ˆ2 |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
Таким образом, отношение коэффициентов оказывается чисто мнимым:
|
|
= i0 |
|
ˆ2 |
|
|
|
|
|
α |
= iγ0 |
B0 |
, γ0 |
|
R. |
||||
|
2 |
|
|||||||
β |
|
± |
1 |
|
Aˆ0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Подставив в уравнение (7.4), получаем (дальше мы не будем использовать
уравнение на γ0, нам лишь надо было угадать вид уравнения на ψ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
B0 |
|
|
|
|
|
|
| |
ψ |
|
= 0, γ0 |
= |
±1 |
|
Aˆ0 |
. |
(7.5) |
||||
(iγ0Aˆ0 + Bˆ0) |
|
0 |
2 |
|||||||||||
Уравнение когерентных состояний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим произвольное состояние вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
γ R. |
|
|
|
|
|
|||
|χ = (iγA0 + B0)|ψ , |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
|
2 |
ˆ2 |
|
|
ˆ ˆ |
ˆ2 |
|ψ . |
||||
0 χ|χ = ψ|(−iγA0 |
+B0)(iγA0 |
+B0)|ψ |
= ψ|γ |
|
A0−iγ[A0, B0 |
]+B0 |
||||||||
