quant-1-1-arphf9t1u8h

расплывание волнового пакета свободной частицы в представлении Гайзенберга. Однако для более сложных гамильтонианов соответствие уже не является столь точным.

Связь между коммутатором и скобкой Пуассона была открыта Полем Дираком в октябре 1925 года вскоре после того, как Гайзенберг ввел¨ невиданные ранее в физике некоммутирующие переменные.

5.2.8. Чистые и смешанные состояния в теоретической механике*

Для того чтобы ясно увидеть аналоги представлений Шредингера¨ и Гайзенберга в классической механике, удобно перейти от рассмотрения чистых классических состояний, задаваемых точными значениями координат и импульсов, к смешанным классическим состояниям, задаваемым распределением вероятности по координатам и импульсам.

Таким образом, помимо наблюдаемых, как функций на фазовом про-

которые также задаются как функции на фазовом пространстве. Последнее условие задает¨ нормировку состояния на единицу. Иногда, например при рассмотрении измерения, удобно от этого условия отказаться.

Среднее от наблюдаемой по состоянию задается¨ интегралом вида

в частности, нормировка состояния задает¨ среднее от единицы.

Мы преднамеренно не уточнили к каким классам функций относятся наблюдаемые и состояния, т. к. выбор соответствующих функциональных пространств зависит от задачи. Сейчас нам удобно выбрать для наблюдаемых и состояний пространства основных и обобщенных¨ функций по Шварцу

Таким образом, как в квантовой механике, так и в классической мы имеем линейные (если отказаться от нормировки состояний на единицу) пространства наблюдаемых и смешанных состояний, а также линейную по обоим аргументам операцию усреднения наблюдаемой по состоянию.

144 ГЛАВА 5

Среди всех состояний можно выделить чистые:

Q0P0 (Q, P ) = δ(Q − Q0) · δ(P − P0),Q0P0 , F = F (Q0, P0).

Как и в квантовой механике, чистое состояние задается¨ значениями максимального набора независимых наблюдаемых. Однако имеется принципиальное различие. В классике все наблюдаемые совместимы (коммутируют, одновременно измеримы), и все максимальные наборы независимых наблюдаемых описывают одни и те же семейства чистых состояний. Из-за этого в классической механике может возникнуть путаница (отождествление) между понятиями «чистое состояние» и «максимальный набор независимых наблюдаемых». В квантовой механике не все наблюдаемые совместимы, и разные максимальные наборы независимых наблюдаемых описывают различные семейства чистых состояний.

5.2.9.Представления Гамильтона и Лиувилля в теоретической механике**

Как и в квантовой механике, эволюцию системы можно описывать как эволюцию состояния при неизменных наблюдаемых (представление Лиувилля), либо как эволюцию наблюдаемых при неизменном состоянии (представление Гамильтона):7

Обратите внимание, что состояние в представлении Лиувилля и наблюдаемая в представлении Гамильтона эволюционируют «в разные стороны» (разный знак перед скобкой Пуассона). Данные уравнения при замене скобки Пуассона на коммутатор {·, ·} → i1¯h [·, ·] переходят в квантовые уравнения для операторов и матриц плотности в представлениях Шредингера¨ и Гайзенберга соответственно.

7Представление Гамильтона обозначено индексом «г», точно так же как выше обозначали представление Гайзенберга. Поскольку одно представление переходит в другое в классическом пределе, то это не должно вызвать путаницы, а наоборот, это дает¨ нам мнемоническое правило как классические представления временной эволюции соотносятся с классическими: Гайзенберг и Гамильтон начинаются на одну букву и у обоих эволюция описывается через наблюдаемые.

$%

5.2.10. Уравнения в представлении взаимодействия*

Дифференциальное уравнение для оператора в представлении взаимо-

Таким образом, временная эволюция волновой функции в представлении взаимодействия описывается уравнением Шредингера,¨ в котором вместо гамильтониана используется оператор возмущения, записанный в представлении взаимодействия:

вые функции при измерении», 3.1.5 «Амплитуда при измерении и скалярное произведение», 4.5.1 «Нормировка волновых функций на единицу»).

Наряду с формулами для волновых функций здесь приводятся соответствующие формулы для матриц плотности, которые при первом чтении можно пропускать.

Как мы уже знаем, в результате измерения, дающего ответ «да», волновая функция ψдо проецируется с помощью ортогонального проектора

на некоторое подпространство Hда пространства H. Нормированная на вероятность волновая функция (матрица плотности*) сразу после измерения имеет вид:

При этом вероятность того, что измерение даст ответ «да», выражается следующими способами:

pда = Pда = tr(ρˆдоPда) = tr(ρˆдоPда) = tr(PдаρˆдоPда) = tr(ρˆда). [ ]

Процесс измерения в стандартной квантовой механике считается мгновенным, а результат измерения абсолютно непредсказуемым (можно определить лишь вероятности).

ˆ

Если задан проектор Pда, то можно определить проектор

описывающий неполучение ответа «да» (получение ответа «нет»). Подпространство Hнет состоит из векторов, ортогональных всем векторам из Hда. Любой вектор из H однозначно разлагается по этим подпространствам:

| ˆ| ˆ ˆ | ˆ | ˆ | | |

ψ = 1 ψ = (Pда + Pнет) ψ = Pда ψ + Pнет ψ = ψда + ψнет .

ˆ

Свойства проектора Pнет и его использования полностью аналогичны свой-

ˆ ↔

ствам Pда. Во всех рассуждениях мы можем сделать замену «да» «нет». В следующих подразделах мы рассматриваем вопрос о построении

проекторов для различных вопросов/измерений и их свойствах.

Невырожденный дискретный спектр

Пусть мы измеряем физическую величину, описываемую эрмитовым

ˆ

оператором A с дискретным невырожденным спектром. Т. е.

причем¨ k — дискретный параметр.

Набор ϕk образует ортогональный базис, элементы которого можно нормировать на единицу, т. е.

k

Мы можем описать измерение, определяющее значение физической ве-

ˆ

личины A, т. е. определяющее в каком из состояний ϕk находится система, следующим образом:

• проекторы описывают взаимоисключающие исходы, поскольку (из-за

екторов;

• используя предыдущий пункт, мы можем разложить исходную волновую функцию ψ по базису состояний ϕk:

дает¨ 0 или 1, поскольку только эти числа являются собственными, и только такие значения вероятности мы можем измерить в единичном опыте: вероятность после измерения всегда равна либо 1 (событие произошло), либо 0 (событие не произошло).

•коэффициенты разложения ψ по ϕk равны ϕk|ψ и задают соответствующие амплитуды вероятностей, как и положено компонентам волновой функции;

• оператор наблюдаемой может быть представлен в виде A = k αkPk.

Вырожденный дискретный спектр

Случай вырожденного дискретного спектра отличается от невырожденного тем, что некоторым собственным числам соответствует несколько линейно независимых собственных функций, т. е.

Дискретный параметр c = 1, . . . , nk нумерует собственные функции, отвечающие данному собственному числу αk.

Мы снова можем выбрать набор ϕkc так, чтобы он задавал ортонормированный базис, т. е.

kc

Вправилах из списка в разделе «Невырожденный дискретный спектр» следует заменить только первый пункт.

Рассмотрение измерения для случая дискретного вырожденного спектра отличается только определением набора проекторов на собственные под-

ˆ

Теперь проектор Pk отображает волновые функции на подпространство размерности nk, натянутое на векторы из набора {|ϕkc}nc=1k .

Параметр c Uk может быть и непрерывным, в этом случае изменяется условие нормировки состояний, поскольку суммы по c заменяются

Uk

Непрерывный спектр

Собственные состояния непрерывного спектра нормируются уже не на δ-символ, а на δ-функцию. В случае невырожденного спектра мы имеем:

ˆ|ϕα = α|ϕα , A

ϕα|ϕβ = δ(α − β),

| | ˆ

ϕα ϕα dα = 1.

Функции |ϕα как всякие функции непрерывного спектра не являются волновыми функциями из пространства H.9

Мы можем формально написать оператор pˆα = |ϕα ϕα|, но этот оператор отображает почти все элементы H на векторы, пропорциональные |ϕα , т. е. не попадающие в H. Однако среднее от оператора pˆα задает¨ плот-

ˆ

ность вероятности обнаружения значения наблюдаемой A, близкого к α:

(α) = ψ|pˆα|ψ .

Функция (α) определена почти при всех значения α, однако непосредственный физический смысл имеет не она, а интегралы от нее:¨

ϕα|ψ . А также наоборот: скалярное произведение ψ(α) = ϕα|ψ определено для всех |ψ H и почти всех α. Это скалярное произведение задает¨ функцию ψ(α), которая представляет разложение вектора |ψ по базису |ϕα . Функция α → ψ(α) квадратично интегрируема (принадлежит L2(R)), а элементы пространства L2(R) определены с точностью до множества точек лебеговой меры ноль.