quant-1-1-arphf9t1u8h

Конкретный выбор пространства основных функций D зависит от решаемой задачи.

Однако мы еще¨ не выяснили природу интеграла по непрерывному спектру в формуле (4.30), а также природу «скалярного произведения» состояний непрерывного спектра друг на друга, в частности в формуле для нормировки (4.34).

Про смысл «скалярного произведения» векторов непрерывного спектра друг на друга см. ниже в разделе 4.6.3 «Замена базиса», а также в разделах 4.7.1 «Ядро оператора» и 4.7.2 «Матричный элемент оператора».

4.6.3. Замена базиса

Прежде всего отметим, что формула (4.30) для разложения кет-вектора по базису сама по себе не позволяет вычислить какое бы то ни было число, поскольку она записана через другие кет-векторы. Чтобы получить из кетвектора число (хотя бы его компоненту по какому-либо базису), его надо домножить слева на бра-вектор. Так и сделаем, умножим формулу (4.30) слева на некоторый базисный вектор ξm| (непрерывного или дискретного спектра, из старого базиса {|φx}x U W , или из какого-либо другого):

Полученная формула (4.38) выражает компоненты ψ(m) вектора |ψ в новом базисе, через его же компоненты ψ(x) в старом базисе. При этом отображение записалось как линейное отображение одного векторного пространства на другое с ядром, задаваемым скалярными произведениями базисных векторов двух наборов друг на друга ξm|φx . Это ядро имеет вполне конкретный смысл и является, вообще говоря, обобщенной¨ функцией от m и x. Как обобщенная¨ функция ξm|φx может не иметь определенного¨ значения при каких-то значениях переменных, но имеет смысл как форма записи линейного отображения. Даже если значение функцииξm|φx при каких-то значениях аргумента определено, интеграл, формально соответствующий скалярному произведению волновых функций непре-

рывного спектра, может расходиться. Например, скалярное произведение двух волн де Бройля, отвечающих различным значениям импульса в одномерном случае сводится к пределу, который не существует, но которому мы формально приписываем нулевое значение:

−p )/¯h

Замена базиса и унитарные операторы*

Мы описали замену базиса как отображение из одного векторного пространства в другое

G : H1 → H2.

Здесь H1 и H2 — два векторных пространства, элементами которых являются наборы компонент вектора состояния из пространства H по базисам номер 1 и номер 2. Конечно, пространства H, H1 и H2 одинаковы (изоморфны), но иногда бывает полезно различать сам вектор состояния и его представление через набор компонент.

Если оба векторных пространства H1 и H2 «устроены» одинаково, т. е. если мы можем пронумеровать векторы дискретного спектра обоих базисов и установить между ними взаимно-однозначное соответствие, пронумеровать векторы непрерывного спектра обоих базисов и также установить между ними взаимно-однозначное соответствие, то такая одинаковая нумерация устанавливает естественное отображение между элементами обоих векторных пространств:

J : H1 → H2, J−1 : H2 → H1.

При этом у нас появляется возможность рассматривать те же формулы не как замену базиса (отображение вектора из H1 в H2), а как преобразование вектора, т. е. отображение вектора из H1 на другой вектор того же пространства H1:

ˆ −1 H → H

U = J G : 1 1.

96 ГЛАВА 4

Поскольку такое преобразование взаимно-однозначно ( обратимо) и сохраняет скалярное произведение (оба базиса одинаково нормированы), то оно называется унитарным преобразованием и описывается унитарным

ˆ

оператором U .

Наоборот, если M1 : H → H1 задает¨ компоненты вектора состояния

ˆ H → H

по некоторому базису, а U : — унитарный оператор, то M2 =

ˆ H → H ¨

= M1U : 1 задает компоненты вектора состояния по новому базису.

Для любого базиса любой унитарный оператор зада¨ет некоторую замену базиса на новый базис, «устроенный» так же как исходный, и наоборот, любая замена базиса, при которой оба базиса «устроены» одинаково, зада¨ет унитарный оператор.

Унитарное преобразование — обобщение поворота, а унитарный оператор — обобщение матрицы поворота.

Если базисы «устроены» различно, например в одном векторы нумеруются дискретным индексом, а в другом — непрерывным, то такую замену базиса нельзя естественным образом представить как унитарное преобразование11.

Преобразование Фурье

Рассмотрим пространство L2(R) и базис, состоящий из волн де Бройля

Здесь φx0 (x) = δ(x−x0) — волновые функции исходного базиса (состояния с определенным¨ значением координаты x0).

Переход к новому базису соответствует преобразованию Фурье. Этот базис является ортонормированным, т. е.

ξk|ξl = δ(k − l).

Хотя матричный элемент ξk|ξl является обобщенной¨ функцией, при k =l она имеет хорошо определенное¨ (нулевое) значение, однако соответствую-

11В некоторых книгах унитарными операторами называют также отображение одного пространства на другое. Однако в данном пособии унитарные преобразования понимаются как отображение пространства на себя, для того чтобы любое преобразование можно было бы рассматривать двояким образом: как активное преобразование (преобразование вектора), либо как пассивное преобразование (замена базиса).

щий интеграл

−∞

расходится (см. (4.39)). При стремлении к бесконечности пределов интегрирования

−R

значение интеграла колеблется, но не стремится к какому-либо пределу. Мы можем домножить подынтегральное выражение на какой-либо регуляризующий фактор, например e−α|x|, после чего перейти к пределу α → +0, но смысл формулы ξk|ξl = δ(k − l) не в этом, а в том, что скалярное произведение для функций и их преобразования Фурье записывается одинаково:

писать друг через друга ψ(k) = ξk|ψ и ψ(x) = φx|ψ , используя ядро ξk|φx = φx|ξk :

Если величина x безразмерна, то k тоже безразмерна и мы можем рассматривать преобразование Фурье по своему выбору как замену базиса, либо как унитарное преобразование. Если же x и k размерны, то мы можем рассматривать преобразование Фурье как замену базиса, но не можем рассматривать их как унитарное преобразование, впрочем, мы всегда можем обезразмерить переменные, разделив x и умножив k на некоторую константу x0 с размерностью x.

98 ГЛАВА 4

Часто в физике в качестве аргумента преобразования Фурье выбирает-

ся не волновое число k, а импульс p = ¯hk. В этом случае нормированные

√

волновые функции нового базиса должны быть поделены на ¯h:

i

ξp(x) = √ 1 e ¯h px, p R.

2π¯h

Другое преобразование Фурье*

Определенное¨ выше преобразование Фурье отличается от обратного преобразования Фурье только знаком в комплексной экспоненте, однако

ведется¨ по такой мере. Если размерность пространства импульсов n, то

Условия нормировки для импульсного базиса и для координатного базиса имеют различный вид:

Именно такие соглашения предпочитают в большинстве книг физики. Это весьма удобно: все дифференциалы импульса делятся на 2π¯h, и ника-

ких корней не возникает. Однако при этом прямое и обратное преобразования Фурье выглядят различно, различаются условия нормировки, а пространство волновых функций в координатном и импульсном представлении различаются даже после обезразмеривания, что затрудняет рассмотрение преобразований Фурье в качестве унитарных преобразований. По этой причине математики часто предпочитают преобразование Фурье в том виде, в котором они приведены в разделе 4.6.3.

4.7. Операторы

Операторы в квантовой теории во многом аналогичны матрицам. В случае, когда пространство волновых функций конечномерно, операторы оказываются обычными матрицами. Можно сказать, что операторы — это и есть матрицы. Не случайно, например, описывающий смешанные квантовые состояния оператор называется матрицей плотности.

Здесь мы постараемся сформулировать основные свойства операторов

втаком виде, чтобы описание не зависело от того, конечна или бесконечна размерность пространства волновых функций.

Линейный оператор действует на вектор состояния и превращает его

вдругой вектор состояния, причем¨ полученное состояние линейно зависит от исходного12:

Операторы можно задавать различными способами. Например, оператор частной производной по координате x, если волновая функция задана просто, как функция от координат, можно задать как дифференциальный оператор ∂x∂ : ψ →∂ψ∂x . Другие операторы может быть удобнее задать через их действие на все векторы некоторого базиса, или в виде матрицы.

кое несовпадение имеет место для очень многих физически осмысленных операторов. Обычно физики не обращают внимание на такие «мелочи», однако иногда такие «чисто математические» тонкости имеют интересный физический смысл.

на кет-вектор следующим образом:

Здесь W — дискретный спектр, по которому берется¨ сумма, как для обычных матриц, а U — непрерывный спектр, по которому берется¨ интеграл. Функция Axy — обобщенная¨ функция от x и y. Если волновая функция — функция от одного набора переменных x, то ядро оператора — функция от двух наборов переменных (x, y). Ее¨ можно представить как линейный функционал на пространстве D × H , который ставит в соответствие объ-

| | × H | ˆ|

екту вида ψ φ D число φ A ψ . В следующей формуле, чтобы не загромождать запись, мы ограничились случаем, когда базис содержит векторы только непрерывного спектра:

x,y U

Интеграл здесь следует понимать как линейный функционал от ψ × φ†. (Сравните с разделом 4.6.3 «Замена базиса».)

4.7.2. Матричный элемент оператора

Ядро оператора может быть записано через действие оператора на ба-

В этом можно легко убедиться, подставив в формулу (4.41) компоненты базисных волновых функций (4.31), для дискретного спектра, и (4.34), для непрерывного.

Аналогичную формулу (4.13) мы уже писали для элемента обычной матрицы.

Формулы (4.42) и (4.43) позволяют записывать матричные элементы по одному базису через компоненты операторов/матриц и состояний/векторов в другом базисе.

В соответствии со сложившейся в квантовой механике традицией мы будем называть матричным элементом также значение билинейной формы, соответствующей данному оператору на паре произвольных состояний,

А если мы пишем

ˆ

Aψ(k) = k ψ(k),

то тогда ψ(k) задает¨ уже не компоненту вектора, а весь вектор, заданный как функция переменной, обозначенной буквой k.

Формально последнюю формулу было бы более правильно записать

так:

компонента

но обычно мы не будем столь педантичны.

Как правило, определить, что именно обозначает ψ(k) или другое подобное, обозначение можно исходя из контекста. В частности, если по переменной k берется¨ сумма или интеграл, то имеется в виду заведомо компонента вектора.

Впрочем, подобная путаница между обозначением функции и ее¨ значения в некоторой точке — обычное дело в разных областях физики и математики.

4.7.5. Среднее от оператора

Диагональные матричные элементы от эрмитовых операторов играют особую роль: они задают средние значения соответствующих наблюдаемых (т. е. наблюдаемых величин) по выбранному состоянию:

Это соотношение легко выводится, если записать вектор |ψн в базисе

ˆ

собственных функций оператора A (далее для простоты формулы пишутся для невырожденного спектра — на каждое собственное число приходится ровно один базисный вектор). С учетом¨ того, что состояния дискретного спектра нормированы на δ-символ, а состояния непрерывного спектра — на δ-функцию

φk|φl = δkl, k, l W, φx|φy = δ(x − y), x, y U,φk|φx = 0, x U, k W,