quant-1-1-arphf9t1u8h

деление вероятностей для сложной системы, тогда распределение вероятностей для подсистем имеют вид

При этом общее распределение (Q1, Q2, P1, P2) в случае общего положения (когда не представимо в виде произведения функций от Q1, P1 и Q2, P2) не восстанавливается по распределениям 1(Q1, P1) и 2(Q2, P2), описывающим подсистемы.

Однако в классической механике (точнее даже в классической теории вероятностей) это свойство имеет место только для смешанных состояний. Если классическое состояние сложной системы является чистым, то

(Q1, Q2, P1, P2) = δ(Q1 − Q01)δ(Q2 − Q02)δ(P1 − P10)δ(P2 − P20),

состояния подсистем также оказываются чистыми

1(Q1, P1) = δ(Q1 − Q01)δ(P1 − P10), 2(Q2, P2) = δ(Q2 − Q02)δ(P2 − P20),

причем¨ состояние сложной системы может быть восстановлено

(Q1, Q2, P1, P2) = 1(Q1, P1) 2(Q2, P2).

В квантовом случае, как мы показали выше, чистое состояние сложной системы в общем случае не восстановимо по состояниям подсистем.

Чистое состояние системы может дать смешанное для подсистемы. Возможна и обратная ситуация, когда смешанное состояние системы дает¨ чистое для подсистемы. Пусть

ρˆ = ρˆ1 ρˆ2.

Тогда если ρˆ1 = |ψ ψ| — чистое состояние подсистемы 1, а ρˆ1 — смешанное состояние подсистемы 2, то состояние сложной системы ρˆ является

Для наблюдаемой F для каждого состояния, заданного определенными¨ значениями координат и импульсов (Q0, P0) (классическое чистое состояние), задано определенное¨ значение наблюдаемой

F (Q0, P0).

Для состояния, задаваемого плотностью вероятности (Q, P ) (классическое смешанное состояние), определено среднее значение

F = dQ dP (Q, P ) · F (Q, P ).

На множестве классических наблюдаемых возможны операции, аналогичные введенным¨ выше для квантовых наблюдаемых:

•cF — умножение на вещественное число c R;

•F + G — поточечное сложение наблюдаемых F и G;

•F •G = F (Q, P )·G(Q, P ) — обычное поточечное умножение функций;

Классическая скобка Пуассона также является скобкой Ли.

Таким образом, мы получаем алгебру классических наблюдаемых, на которой заданы операции, аналогичные операциям, введенным¨ выше для квантовых наблюдаемых.

Интересно, что состояние классической системы, задаваемое как распределение вероятностей (Q, P ), также оказывается элементом алгебры классических наблюдаемых.

4.9.3. Вещественность наблюдаемых***

Как квантовая, так и классическая алгебра наблюдаемых устроены так, что значения наблюдаемых величин непременно должны быть вещественными.

Однако значения измеряемых на эксперименте наблюдаемых величин вовсе не обязаны быть вещественными. Понятно, что с помощью нормальных операторов мы можем легко ввести комплексные наблюдаемые, но такое обобщение малоинтересно, т. к. такая комплексная наблюдаемая будет просто сводиться к двум коммутирующим вещественным наблюдаемым. Так что в этом разделе мы обсудим более общий случай.

4.9. НАБЛЮДАЕМЫЕ*

Пусть, например, в городе живут коты разного цвета. Наблюдатель ловит случайным образом одного из котов и определяет, что с равной вероятностью 13 он может быть рыжим, черным¨ или полосатым.

Конечно, мы можем договориться и пронумеровать окрасы тем или иным способом, например так:

черный¨ = 1, рыжий = 2, полосатый = 3.

После этого мы посчитаем среднее значение кошачьего окраса и вычислим (поскольку все три окраса равновероятны),

что «средний кот» у нас имеет окрас номер 2 (рыжий). Смысла это утверждение не имеет практически никакого, т. к. перенумерацией цветов мы можем сделать «средним» любой цвет из трех¨.

Конечно, мы можем попытаться как-то «обнаучить» нумерацию котов и приписать каждой масти физически осмысленное число, например, альбедо (коэффициент отражения) кошачьей шерсти, но такое «обнаучивание» имеет смысл отнюдь не всегда.

Поэтому, вместо того, чтобы нумеровать кошачьи расцветки, можно честно признать, что некоторые наблюдаемые величины естественно описывать не числами из R, а элементами какого-либо другого множества. На этом множестве операции умножения на вещественное число, операции умножения элементов множества друг на друга, операция взятия среднего и операция взятия скобки Пуассона могут быть не определены, и в этой неопределенности¨ нет ничего страшного.

Для предсказания результата измерения нам на самом деле нужна только одна операция — операция вычисления вероятности того или иного исхода измерения в данном состоянии.

В классическом случае такая наблюдаемая по-прежнему задается¨ функцией F (Q, P ), но значения функции F уже не обязаны быть вещественными, а могут принадлежать произвольному множеству V :

F : (Q, P ) →F (Q, P ) V.

Ни одна из операция необходимых для алгебры наблюдаемых, не является при этом обязательной.

В квантовом случае нам достаточно задать разбиение пространства на ортогональные подпространства для дискретного спектра (или проектор-

118 ГЛАВА 4

нозначную меру для непрерывного спектра):

Этого достаточно, чтобы определить вероятность любого исхода измерения α:

| ˆ | pα = ψ Pα ψ .

Умножать волновую функцию на элемент множества V C мы не можем, так что такой наблюдаемой нельзя сопоставить оператор. Соответственно, нельзя вычислить и среднее значение.

Понятно, что мы можем вручную перенумеровать элементы V вещественными числами и все¨-таки определить оператор наблюдаемой величины, но после этого не следует удивляться тому, что получившийся искусственный оператор ведет¨ себя неестественным образом.

Приведем¨ пример такого неестественного оператора.

Угол поворота вокруг какой-либо оси мы можем задавать вещественным числом. При этом сложение таких углов, умножение их на вещественные числа и усреднение будет иметь хороший геометрический смысл. Однако угловая координата (для определенности¨ возьмем¨ угол ϕ в цилиндрических координатах) такого хорошего смысла уже не имеет. Нулевое значение угловой координаты, в отличие от нулевого значения угла поворота, никак не выделено, это лишает смысла операции сложения угловых координат, их умножения на число и усреднения. Операция вычитания угловых координат, тем не менее, имеет смысл. Чтобы увидеть это, достаточно повернуть систему координат вокруг оси z на некоторый угол δϕ, при этом преобразовании исходные величины и результаты «нехороших» действий преобразуются по разным законом:

(ϕ1 + ϕ2) → (ϕ1 + ϕ2) + 2δϕ, (ϕ1 + ϕ2) + 2δϕ < 2π, (ϕ1 + ϕ2) → (ϕ1 + ϕ2) + 2δϕ − 2π, 4π > (ϕ1 + ϕ2) + 2δϕ 2π,

Одно из следствий этого — невозможность (в общем случае) определения «среднего направления» путем¨ усреднения оператора угловой координаты.

А так ли нам нужны операции алгебры наблюдаемых, если мы можем считать вероятности и без их помощи? На самом деле нам нужна скобка Пуассона, чтобы записать уравнения временной эволюции. (Здесь мы забегаем вперед,¨ обращаясь к материалу раздела 5.2 «Разные представления временной (унитарной) эволюции квантовой системы».)

Если мы описываем временную эволюцию через состояния (представление Лиувилля в классике или представление Шредингера¨ в квантовом случае), то мы должны иметь возможность подставить в скобку Пуассона:

•состояние (распределение вероятностей в классике или матрицу плотности в квантовом случае);

•гамильтониан (функцию Гамильтона в классике или оператор Гамильтона в квантовом случае).

Если мы описываем временную эволюцию через наблюдаемые (представление Гамильтона в классике или представление Гайзенберга в квантовом случае), то мы должны иметь возможность подставить в скобку Пуассона:

•наблюдаемую;

•гамильтониан (функцию Гамильтона в классике или оператор Гамильтона в квантовом случае).

Впрочем, если мы задали наблюдаемую величину не оператором, а набо-

{ ˆ }

ром проекторов Pα α V и соответствующих им разрешенных¨ значений α из произвольного множества V , то мы можем с помощью скобки Пуассона записать уравнение эволюции не для оператора наблюдаемой (который

ˆ

попросту отсутствует), а для проекторов Pα (хороших эрмитовых операторов).

Единственная наблюдаемая, вещественность (эрмитовость) которой для нас принципиально важна, — гамильтониан.

4.10. Операторы координаты и импульса

Операторы координаты и импульса, на самом деле, уже были нами определены, т. к. мы уже задали для них наборы собственных чисел и базисы собственных функций. Здесь мы рассмотрим одномерный случай, когда пространство состояний в координатном представлении задается¨ как L2(R).

тора координаты) базисные функции самого координатного базиса имеют вид, обычный для непрерывного спектра:

φx0 (x) = φx|φx0 = δ(x − x0).

В том же координатном представлении базис собственных функций оператора импульса задается¨ волнами де Бройля:

i

φp0 (x) = φx|φp0 = √ 1 e ¯h p0x.

2π¯h

В импульсном представлении (в базисе волн де Бройля)

φp0 (p) = φp|φp0 = δ(p − p0).

В том же импульсном представлении базис собственных функций оператора координаты задается¨ комплексным сопряжением волн де Бройля:

Таким образом, как уже упоминалось ранее, координатное и импульсное представление связаны друг с другом преобразованием Фурье (см. раздел 4.6.3).

В своем¨ представлении каждый оператор действует умножением на аргумент волновой функции (см. 4.7.3 «Базис собственных состояний»). Операторы импульса в координатном и координаты в импульсном представлении задаются как дифференциальные операторы. (Проверьте, что приведенные¨ выше базисные состояния являются собственными для этих операторов!)

из функций, которые остаются квадратично интегрируемыми после взятия

производной и умножения на x. Множество таких функций плотно в L2(R). Тем не менее, в некоторых случаях область определения коммутатора [ˆx, pˆ] оказывается важной. Если мы будем рассматривать волновые функции периодичные с периодом a, то в область определения коммутатора попадут только функции, для которых ψ(0) = ψ(a) = 0. И хотя такие функции также плотны в пространстве L2([0, a]), собственные функции оператора импульса (при таких граничных условиях спектр импульса дискретен) в область определения коммутатора уже не попадают.

Задача о неправильном коммутаторе

Многие студенты поначалу считают коммутатор координаты и импульса так:

[ˆx, pˆ] = xˆpˆ − pˆxˆ = x(−i¯h ∂x∂ ) + i¯h ∂x∂ x = −i¯hx ∂x∂ + i¯h.

1 лишний член

Найдите ошибку и не делайте такую ошибку сами.

4.11. Вариационный принцип

Среднее значение энергии в состоянии |ψ может быть записано как среднее взвешенное от стационарных уровней энергии. Это позволяет заключить, что минимальное среднее значение энергии не может быть меньше, чем энергия основного состояния (состояние с минимальной возможной энергией):

Аналогичные методы могут применяться и к другим эрмитовым операторам, но для того, чтобы минимум (максимум) достигался, необходимо, чтобы спектр был ограничен снизу (сверху).

4.11.1. Вариационный принцип и уравнения Шредингера**¨

Мы можем написать (4.65) как условный минимум (но достижим он будет, только если основное состояние принадлежит дискретному спектру)

| ˆ |

E0 = min ψ H ψ

ψ|ψ =1

122 ГЛАВА 4

и искать условный минимум методом лагранжевых множителей

если ψ(x) — комплексная функция, или

если ψ(x) — вещественная функция, а скобки обозначают вещественное скалярное произведение.

(4.66)

мы получаем интегральный функционал, подобный функционалам, минимизация которых дает¨ условиях равновесия в статике. От действия в теоретической механике он отличается отсутствием времени.

16Стационарные точки функционала дают все стационарные состояния, а не только основное! Однако минимум достигается только на основном состоянии, а прочие дают седловые точки, при условии, что спектр неограничен сверху. Если спектр ограничен сверху, то кроме минимума появится еще¨ и максимум, достигаемый на состоянии и наибольшей энергией.