4. Середні величини.

Статистика вивчає сукупності за варіаційними ознаками, зміна яких проявляється в зміні кількісних значень окремих одиниць цих сукупностей. Для цього розраховують середні величини, які потім порівнюють за різними об’єктами.

Середня величина – це узагальнююча кількісна характеристика варіаційної ознаки в розрахунку на одиницю однорідної статистичної сукупності. Вивчаючи суспільні явища з метою виявлення характерних, закономірних рис у конкретних умовах місця та часу, статистика використовує середні величини.

Добір середніх має ґрунтуватися на позиціях діалектичного розуміння категорій загального та індивідуального, масового та одиничного. У кожному випадку слід дотримуватися наступних вимог стосовно середніх:

1. визначення середньої на підставі масових даних. Індивідуальні значення досліджуваної ознаки окремих одиниць сукупності можуть бути різними. Для того щоб дістати науково обґрунтовану типову величину, обчислювати середню треба за даними, до яких залучається якнайбільше одиниць сукупності. Ця вимога пов’язує середні величини із законом великих чисел;

2. якісна однорідність, одноманітність сукупності, для якої визначають середню. Це означає, що не можна застосовувати середні до таких сукупностей, окремі чистини яких підлягають різним законам розвитку відносно осереднюваної ознаки.

При обчисленні середніх у соціально-економічних явищах необхідно визначити логічну формулу середньої. Чисельником логічної формули є обсяг значень ознаки, що варіює , а знаменник обсяг сукупності.

Розглянемо наступні види середніх величин:

1. Середня арифметична.

Оскільки для більшості соціально-економічних явищ характерна адитивність обсягів (виробництво продукції, витрати на виробництво тощо), то найпоширенішою середньою є середня арифметична.

Середня арифметична – це таке значення ознаки, яке б мала кожна одиниця сукупності, якби загальний підсумок усіх значень ознаки був рівномірно розподілений між всіма одиницями сукупності.

Для того щоб розрахувати середню арифметичну, потрібно скласти всі окремі варіанти (індивідуальні значення ознаки) і суму поділити на їх кількість.

Середня арифметична буває двох видів – проста та зважена.

За первинними незгрупованими даними обчислюється середня арифметична проста:

У великих за обсягом сукупностях окремі значення ознаки можуть повторюватись. У такому разі їх можна об’єднати в групи, а обсяг значень ознаки визначити як суму добутків варіант х_і на відповідні їм частоти f_i. Такий процес множення у статистиці називається зважуванням, а число елементів сукупності з однаковими варіантами – вагами. Значення ознаки осереднюється за формулою середньої арифметичної зваженої, яка розраховується для згрупованих даних:

Середня арифметична для інтервального ряду носить умовний характер. В якості варіанти використовують середні значення інтервалів. Використання інтервальної середньої виправдовується при відсутності первинних даних.

Середня арифметична має певні властивості, які розкривають її суть:

1. алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю:

,

тобто в середній взаємно компенсуються додатні та від’ємні відхилення окремих варіант.

2. сума квадратів відхилень окремих варіант ознаки від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини:

3. якщо всі варіанти збільшити або зменшити на одну й ту саму величину а або в а разів, то зміниться середня аналогічно.

4. значення середньої залежить не від абсолютних значень ваг, а від пропорцій між ними. При пропорційній зміні всіх ваг, середня не зміниться. Згідно з цією властивістю замість абсолютних ваг – частот f_i – можна використати відносні ваги у вигляді часток d_і або процентів 100 d_і:

, або у відсотках,

2. Середня хронологічна.

Розраховується як середню у хронологічному ряді. Моментні показники заміюються середніми як півсума значень на початок та кінець періоду. Якщо моментів більш ніж два, а інтервали між ними рівні, то в чисельнику до півсуми крайніх значень додають усі проміжні, а знаменником є число інтервалів, яке на одиницю менше від числа значень ознаки. Таку формулу називають середньою хронологічною:

3. Середня гармонійна.

Статистичні середні завжди виражають якісні властивості суспільних явищ та процесів. Під час досліджень важливо правильно вибрати тип середньої, відповідно до природи взаємозв’язків явищ та їх ознак. В статистичних дослідженнях використовують середню гармонійну, яка за своїми властивостями застосовується, коли загальний обсяг ознаки формується як сума зворотних значень варіантів. Наприклад, коли треба вагу (тобто добуток варіантів на частоту) поділити на варіанти, або, що те саме, помножити на обернене їм число. Середня гармонійна обернена середній арифметичній:

– серденя гармонійна проста:

– середня гармонійна зважена:

Таким чином, середня гармонійна у статистиці – це перетворена середня арифметична, яку застосовують у разі, коли чисельність сукупності невідома, а варіанти зважуються обсягом ознаки.

4. Середня геометрична.

Якщо визначальна властивість сукупності формується як добуток індивідуальних значень ознаки, використовується середня геометрична:

Використовується для розрахунків середніх коефіцієнтів зростання.

Коли часові інтервали не однакові, розрахунок виконують за формулою середньої геометричної зваженої:

5. Середня квадратична.

Використовується для визначення характеристики варіації ознак (наприклад, дисперсія) та для узагальнення ознак, виражених лінійними мірами площ (наприклад, при обчисленні середнього діаметру).

Середня квадратична буває двох видів:

• проста:

• зважена:

Вище вказані середні є узагальню вальними характеристиками сукупностей за тією чи іншою варіаційною ознакою. Водночас структуру цих сукупностей характеризують особливими показниками, які називаються у статистиці структурними середніми величинами. Зокрема, це мода та медіана.

Мода (М_о) – це величина, яка найчастіше трапляється в даній сукупності. У варіаційному ряді це – варіанта, якам має найбільшу частоту.

Моду широко використовують у комерційній діяльності, в соціологічних дослідженнях, коли вивчають ринковий попит, реєструють ціну, встановлюють рейтинг популярності осіб чи товарів тощо.

В інтервальному варіаційному ряді для знаходження модальної величини ознаки, що міститься в певному інтервалі, формула має такий вигляд:

,

де х₀ – нижня межа модального інтервалу;

h – ширина або шаг інтервалу;

f_m – частота модального інтервалу;

f_m-1 – частота інтервалу, що передує модальному;

f_m+1 – частота наступного за модальним інтервалу.

Медіана (М_е) – це варіанта, що є серединою впорядкованого варіаційного ряду, тобто ділить його на дів рівні частини: одна частина має значення варіаційної ознаки менше, ніж середня, а друга – більше. Медіана вказує на значення варіаційної ознаки, якого досягла половина одиниць сукупності.

Медіані у дискретному ряді визначають за сумою всіх частот, яку треба поділити на дві і до отриманого результату додати 0,5. У тому разі, коли сума частот парна, медіанна варіанта є дробовим числом, але оскільки дробових варіантів не буває, то медіана лежить у середині сусідніх варіантів.

Для обчислення медіани в інтервальному ряді визначають медіанний інтервал. Від відповідає такому, кумулятивна частота якого дорівнює або перевищує половину суми частот. Кумулятивні частота визначають за допомогою поступового підсумовування частот, розпочинаючи з інтервалу з найменшим значенням ознаки. Медіану розраховують за наступною формулою:

,

де х₀ – нижня межа медіанного інтервалу;

h – ширина або шаг інтервалу;

f_mе – частота медіанного інтервалу;

–сума кумулятивних частот до медіанного інтервалу;

f – частоти ряду.