3. Середні показники динаміки.

Динамічні ряди складаються з багатьох варіаційних рівнів, а тому, як будь-яка статистична сукупність, вони потребують деяких узагальнюючих характеристик. Для цього обчислюють середні показники:

1. середній рівень ряду;

2. середній абсолютний приріст;

3. середній темп зростання та приросту.

Методи обчислення середнього рівня інтервального та моментного рядів динаміки залежать від їх вигляду.

В інтервальних рядах з рівними інтервалами середній рівень ряду обчислюють за формулою середньої арифметичної простої:

,

де сума рівнів ряду;

п – число рівнів.

Якщо окремі періоди інтервального ряду динаміки мають різну довжину, то для визначення середнього рівня використовують середню арифметичну зважену:

,

де рівні ряду;

проміжки часу.

Для наближеної оцінки середнього рівня ряду інколи визначають півсуму рівнів на початок та кінець періоду і приймають її за характеристику середнього рівня всього періоду:

,

де у_п – кінцевий рівень ряду динаміки.

Якщо моментний ряд динаміки з рівними або приблизно рівними проміжками часу між сусідніми датами, то середній рівень визначають за формулою середньої хронологічної:

.

Середній абсолютний приріст (абсолютна швидкість динаміки) визначають як середню арифметичну з ланцюгових абсолютних приростів за певні періоди, і показує, на скільки у середньому змінився рівень порівняно з попереднім:

,

де п – кількість приростів.

Середній темп зростання розраховують за формулою середньої геометричної простої:

,

де п – число ланцюгових темпів зростання.

Середній темп приросту визначають як різницю між середнім темпом зростання та одиницею (якщо середній темп зростання має вигляд коефіцієнта) або 100 (якщо розрахований в процентах):

.

Середній темп приросту показує на те, на скільки процентів збільшився (зменшився) рівень порівняно з попереднім у середньому за одиницю часу.

Застосування наведених показників динаміки є першим етапом аналізу динамічних рядів, який дає змогу виявити швидкість та інтенсивність розвитку явищ.

4. Характеристика основної тенденції розвитку.

Виявлення основної тенденції (тренду) ряду динаміки являється одним з головних методів аналізу та узагальнення динамічних рядів. Лінія тренду динамічного ряду вказує на зміну досліджуваного явища у часі, без короткочасних відхилень, спричинених різними факторами. У статистичній практиці основну тенденцію розвитку явищ в часі знаходять за методами збільшення інтервалів, ковзної середньої та аналітичного згладжування.

Одним з найпростіших способів обробки ряду для виявлення закономірності зміни його рівнів є збільшення інтервалів (періодів) часу. Суть даного способу полягає в тому, що дані динамічного ряду поєднують у групи за періодами, обчислюють середній показник за деякий період – три роки, п’ять років тощо. Такій обробці доцільно піддавати динамічний ряд з більш-менш систематичними коливаннями рівня, що дає змогу точніше з’ясовувати загальну тенденцію розвитку явища.

Важливим способом виявлення загальної тенденції ряду динаміки є згладжування за допомогою ковзної середньої. Суть згладжування полягає в укрупненні інтервалів часу та заміні ряду рядом середніх по інтервалах. При цьому збільшують періоди шляхом послідовних зміщень на одну дату при збереженні постійного інтервалу.

Згладжування також здійснюється за парним числом членів ряду. Однак таке згладжування дещо складніше, оскільки середню можна віднести тільки до середини між двома датами, які лежать у середині інтервалу. Для цього застосовують способи перетворення рівнів або центрування.

За способом перетворення рівнів рівень першого інтервалу ділять на два і його половина входить до суми, за якою обчислюють ковзну середню. Потім беруть усі наступні рівні в повному обсязі і до них додають половину рівня, який виходить за межі згладжування.

Спосіб центрування полягає в тому, що з кожної пари згладжених середніх розраховують середню арифметичну просту.

Найефективнішим є складний метод виявлення основної тенденції – аналітичне згладжування. При аналітичному вирівнювання ряду динаміки фактичні значення у_t замінюють обчисленням на основі певної функції У = f(t), яку називають трендовим рівнянням, де t – змінна часу, У – теоретичний рівень ряду.

На практиці най поширеними формулами, які описують тенденцію розвитку (тренд) явищ, являються: пряма, показникові функція, парабола другого та третього порядків, гіпербола, логістична функція, експонента, ряд Фур’є та інші.

Якщо ланцюгові абсолютні прирости відносно стабільні, не мають чіткої тенденції до зростання чи зменшення, вирівнювання ряду динаміки виконується за допомогою лінійної функції:

,

де a, b – параметри рівняння;

t – змінна часу.

Параметри трендових рівнянь визначають за допомогою методу найменших квадратів. Для лінійної функції складають наступну систему нормальних рівнянь:

Дану систему рівнянь можна спростити, якщо відлік часу брати з середини ряду таким чином, щоб сума часу дорівнювала нулю: .

Звідси можна визначити параметри рівняння:

Суми фактичних рівнів і розрахованих за трендом теоретичних рівніводнакові:

Продовження виявленої тенденції за межі ряду динаміки називають екстраполяцією тренду. Це один з методів статистичного прогнозування, передумовою використання якого є незмінність причинного комплексу, що формує тенденцію. Прогнозний очікуваний рівень залежить від бази прогнозування та періоду упередженняv. Наприклад, якщо останній період часу в тренді 2001 рік, то для прогнозування на 2002 рік v = 1, а для 2003 року v = 2 т.д.

Метод екстраполяції дає точковий прогноз. На практиці, як правило, визначають довірчі межі прогнозного рівня:

,

де S_p – стандартна похибка прогнозу;

t – квантиль розподілу Стьюдента.

Помилка прогнозу розраховується за формулою:

де оцінка залишкової дисперсії;

m- число параметрів рівняння.

Критичні значення t- критерію Стьюдента для імовірності 1-=0,95 та ступенів вільності K=n-m наведенні в спеціальних таблицях.