В окончательном виде оценка структурной модели имеет вид:

Косвенный метод наименьших квадратов приводит к смещенным, но состоятельным оценкам. В случае сверхидентифицируемости косвенный МНК не применим.

Для оценивания произвольных систем одновременных уравнений в настоящее время имеется довольно значительное количество методов, которые делятся на две группы. К первой группе относятся методы, применимые к каждому уравнению в отдельности, т. е. позволяющие оценивать каждое из уравнений поочередно; и вторая группа содержит методы, предназначенные для оценивания всей системы в целом, т. е. всех уравнений сразу. К первой группе относится, например, двухшаговый метод наименьших квадратов (2МНК), ко второй — трехшаговый метод наименьших квадратов (3МНК) иметодмаксимального правдоподобия полнойинформации.

§ 4. Двухшаговый метод наименьших квадратов

Рассмотрим двухшаговый метод наименьших квадратов

(2МНК). Он применяется для оценки параметров моделей, уравнения которых как однозначно, так и неоднозначно идентифицируемы. Параметры каждого уравнения оцениваются отдельно.

К процедуре оценивания параметров при применении 2МНК прибегают дважды. На первом шаге производится оценивание обычным МНК параметров приведенной формы. Это дает возможность получить оценки систематической и случайной составляющей

где ˆyit — оценки значений этой переменной, полученные по при-

веденной форме. На втором шаге эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурных уравнений, заменяются их оценками ˆyit . К преобразованному таким путем структурному

уравнению применяется обычный МНК. Оценки структурных параметров, полученные 2МНК, являются, вообще говоря, смещенными, но состоятельными и эффективными.

221

Отметим, что в большинстве эконометрических компьютерных пакетов для оценивания систем одновременных уравнений реализован именно двухшаговый метод наименьших квадратов, при использовании которого фактически каждое уравнение оценивается независимо от других.

Пусть i означает номер оцениваемого уравнения структурной формы модели. В этом уравнении присутствует h эндогенных переменных Y, причем h - 1 из них выступают в роли объясняющих переменных. Помимо этого в оцениваемом уравнении присутствуют f предопределенных переменных X (экзогенных и лаговых эндогенных). Оцениваемое уравнение имеет вид:

h f

Y it =∑βidY dt +∑γij X jt +εit.

Идея двухшагового метода наименьших квадратов заключается в том, что переменные Y 1t ,Y 2t , ...,Y (i−1)t ,Y (i+1)t , ...,Y dt выражаются че-

рез предопределенные переменные модели X 1t ,X 2t ,...,X kt , что равнозначно записи приведенной формы:

k

Y dt =∑πdj X jt +ηdt , (d =1, 2, ..., i−1, i+1, ..., h).

j=0

Параметры приведенной формы оцениваются обычным методом наименьших квадратов с применением формулы:

ΠT(i)=(X T X )−1 X T Y(i),

где X — матрица n×k наблюдений всех предопределенных (экзогенных и лаговых эндогенных) переменных модели;

Y(i) — матрица n ×(h −1) наблюдений эндогенных переменных,

присутствующих в оцениваемом уравнении в роли объясняющих переменных;

Πˆ T(i) — матрица k ×(h −1) оценок параметров приведенной

формы при эндогенных переменных, присутствующих в оцениваемом уравнении в роли объясняющих переменных.

222

На основе построенной приведенной формы модели рассчитываются эмпирические значения эндогенных переменных, присутствующих в i-м уравнении в качестве объясняющих переменных:

Yˆ (i)= X Πˆ T(i) ,

где Yˆ (i) — матрица n ×(h −1) значений этих переменных. Оценен-

ные значения переменных вставляются в уравнение так, что оно приобретает форму:

Такие оцененные значения Yˆ d переменных называются инст-

рументальными переменными. Суть состоит в замене коррелирующей со случайным возмущением переменной Y d на другую —

инструментальную переменную Yˆ d , которая не должна коррели-

ровать со случайным отклонением.

Параметры полученного уравнения оцениваются обычным методом наименьших квадратов:

где a(i) — вектор (h −1+ f +1)×1 оценок структурных параметров

оцениваемого уравнения;

b(i) — вектор (h −1)×1 оценок структурных параметров при эн-

догенных переменных, присутствующих в уравнении в роли объясняющих переменных;

c(i) — вектор (f +1)×1 оценок структурных параметров при

предопределенных переменных, присутствующих в уравнении; X(i) — матрица n×(f +1) наблюдений предопределенных пере-

менных, присутствующих в оцениваемом уравнении;

223

yit — вектор n×1 наблюдений эндогенной переменной, играющей роль зависимой (эндогенной) переменной в i-м уравнении (оцениваемом).

Здесь предполагается, что в оцениваемом уравнении имеется f предопределенных переменных (экзогенных и лаговых эндогенных) и первый столбец матрицы X(i) состоит из единиц, что соответствует свободному коэффициенту.

Дисперсия случайных отклонений уравнения оценивается по формуле:

Матрица дисперсии и ковариации оценок структурных параметров имеет вид:

Пример 10.4. Построена следующая модель.

Pt = β12Y t +γ10 +γ11 X t +ε1t , Y t = β23 K t +γ 20 +ε2t ,

Kt = β32Y t +γ 30 +γ 33 I t +ε3t ,

или

Pt − β12Y t −γ10 −γ11 X t =ε1t , Y t − β23 K t −γ 20 =ε2t ,

K t − β32Y t −γ 30 −γ 33 I t =ε3t ,

где Kt — стоимость основных фондов (эндогенная переменная); Yt — количество работающих (эндогенная переменная);

It — объем инвестиций (экзогенная переменная); Pt — объем продукции (эндогенная переменная); Xt — использование сырья (экзогенная переменная).

Имеются наблюдения за 11 лет (табл. 10.2).

224

Параметры первого и третьего уравнений идентифицируются однозначно и могут быть оценены косвенным методом наименьших квадратов. Рассмотрим второе уравнение. В нем отсутствуют переменныеPt, Xt, It. Матрицапараметровприэтих переменных имеет вид:

rang (A2)=2=m−1=3−1<d 2 =3.

Следовательно, второе уравнение признается неоднозначно идентифицируемым. Оценим это уравнение двухшаговым методом наименьших квадратов. Приведенная форма уравнения для переменной стоимости основных фондов Kt, которая выступает во втором уравнении в качестве объясняющей, имеет вид:

K t =π 20 +π 21 X t +π 22 I t +η2t .

Параметры этого уравнения оценим обычным методом наименьших квадратов.

225

9,443

Πˆ (2)=(X T X )−1 X T Y(2)= 1,512 .

12,50

Здесь под матрицей Y(2) следует понимать значения единст-

венной эндогенной переменной Kt, присутствующей в качестве объясняющей во втором уравнении модели. Таким образом, приведенное уравнение переменной Kt имеет вид:

K t =Y(2) . Затем оцениваем исследуемое второе уравнение систе-

мы, в котором вместо фактических значений Kt берем эмпириче-

ские Kˆ t :

Поскольку во втором уравнении системы нет предопределенных переменных (экзогенных и лаговых эндогенных), то матрица X (2) состоит из единиц:

226

Таким образом, имеем следующие оценки параметров β 23 , γ 20 :

b23 = 0,1282, c20 = 0,3838.

Оценка второго уравнения системы имеет вид:

Рассчитаем стандартные ошибки полученных параметров.

227