(здесь не указан случайный член, но должен входить в модель мультипликативно).

После логарифмирования обеих частей получим: lnY =ln A+αln K +βln L .

Здесь α, β — эластичности выпуска по затратам капитала и

труда соответственно. Сумма этих коэффициентов является таким важным экономическим показателем, как отдача от масштаба.

При α+β=1 говорят о постоянной отдаче от масштаба (во сколько раз увеличиваются затраты ресурсов, во столько же раз увеличивается выпуск). При α+β<1 имеет место убывающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска меньше увеличения затрат ресурсов). При α+β>1 — возрастающая отдача от

масштаба (увеличение объема выпуска больше увеличения затрат ресурсов).

В общем случае степенная модель множественной регрессии имеет вид:

Y = β0 X 1 β1 X 2 β2...X m βmε.

Она преобразуется в линейную модель после логарифмирования.

§ 3. Обратная модель (гиперболическая)

называется обратной. Она сводится к линейной модели заменой

X * = X1 . Данная модель обычно применяется в тех случаях, когда

неограниченное увеличение объясняющей переменной X асимптотически приближает зависимую переменную Y к некоторому пределу (в данном случае к β0). В зависимости от знаков β0 и β1 воз-

можны различные ситуации. Если β0 >0, β1 >0 , то (8.5) может отражать зависимость между объемом выпуска (X) и средними

149

фиксированными издержками (Y). Если β0 >0, β1 <0 , то (8.5) мо-

жет отражать зависимость между доходом X и спросом на блага Y (например, на товары первой необходимости либо товары относительной роскоши); это так называемые функции Торнквиста

(в этом случае X =− β1 — минимально необходимый уровень до-

β0

хода). Если β0 <0, β1 >0 , то получим кривую Филипса, отражаю-

щую зависимость между уровнем безработицы (X) в процентах и процентным изменением заработной платы (Y). При этом точка пересечения кривой с осью ОХ определяет естественный уровень безработицы.

Пример 8.2. Имеются данные по 10 семьям о доходе X (ден. ед.) и потреблении некоторого продукта Y (кг) (табл. 8.3).

Исходные данные показаны на рис. 8.3. Из рисунка видно, что зависимость нелинейная.

150

Коэффициенты линейного уравнения определяются обычным методом наименьших квадратов. Эмпирическое уравнение регрес-

сии имеет вид: ˆy =14,9−9,18x* или, возвращаясь к исходным переменным, получим ˆy =14,9−9,x18 .

§ 4. Полиномиальная модель

часто отражает ту или иную экономическую зависимость.

Модель (8.6) является линейной относительно коэффициентов регрессии β0, β1, β2, ..., βm . Следовательно, ее можно свести к ли-

нейной регрессионной модели. Заменяя X k на X k (k =1, 2, ..., m), получаем вместо (8.6) модель множественной линейной регрессии:

Произведение матриц X T X , X TY в этом случае имеет вид:

§ 5. Показательная модель (лог-линейная)

Показательная функция:

также достаточно широко применяется в эконометрическом анализе (здесь e=2,7182818 ...). Наиболее важным ее приложением является ситуация, когда анализируется изменение переменной Y с

152

постоянным темпом прироста во времени. В этом случае переменная X символически заменяется переменной t.

Данная функция путем логарифмирования: ln(eβ1X )= β1X , ln β0 = β*0

сводится к лог-линейной модели:

После замены Y* =lnY получим линейную модель:

Пример 8.3. Пусть имеются следующие данные (табл. 8.4).

Таблица 8.4

Данные для анализа показательной модели

Очевидно, что показательная модель (рис. 8.5) будет линейной в координатах (X ,ln(Y )). Поэтому построим график в этих координатах.

153