Стационарный в узком смысле случайный процесс является одновременно и стационарным в широком смысле, если существуют функции двух первых моментов.

Для гауссовских процессов любые конечномерные распределения определяются через функции m(t) и C(s, t). Поэтому гауссовские процессы, стационарные в широком смысле, одновременно являются стационарными и в узком смысле.

§ 5. Процесс авторегрессии AR(p)

Рассмотрим процесс y(t), значения которого в момент времени t формируются как комбинация значений этого процесса в предшествующий момент (t - 1) и некоторой случайной составляющей εt, независимой от значений y(t - 1). Пусть εt — процесс белого шума,

причем M εt = 0, Dεt =σ2 . Часто дополнительно предполагают, что εt распределены по нормальному закону (гауссовский белый шум). На рис. 9.6 приведен пример процесса авторегрессии.

Рис. 9.6. Процесс авторегрессии первого порядка AR(1)

Случайный процесс y(t) называется процессом авторегрессии первого порядка AR(1), если для него выполняется соотношение:

где φ — некоторая константа.

176

Из условия стационарности вытекает, что My(t)= 0 . Доказано, что процесс AR(1) будет стационарным при φ <1.

дисперсии случайного фактора. Следовательно, незначительные возмущения будут вызывать значительные колебания.

Автокорреляционная функция r(k )=φk , убывает по абсолютной величине с ростом лага по показательному закону.

Рис. 9.7. Теоретическая коррелограмма процесса AR(1), φ = 0,8

Для процесса AR(1) (φ = 0,8) теоретический частный коэффи-

циент автокорреляции первого порядка равен 0,8. Коэффициенты более высоких порядков равны нулю.

177

При φ =1 процесс AR(1) называется случайным блужданием,

а взятие первой разности приведет к стационарному процессу (см. ниже процессы ARIMA).

х

Рис. 9.9. Процесс случайного блуждания y(t)= y(t −1)+εt

Рассмотрим процесс AR(2). Случайный процесс y(t) называется процессом авторегрессии второго порядка, если выполняется соотношение:

где φ1,φ2 — некоторые константы.

Из условия стационарности вытекает, что My(t)=0.

Условие стационарности также накладывает ограничения на параметры φ1,φ2 :

φ1 +φ2 <1, φ1 −φ2 > −1, φ2 > −1.

Процесс авторегрессии второго порядка с ненулевым средним определяется соотношением:

Здесь My(t)= μ.

Учитывая стационарность процесса, можно получить следующие формулы для оценки параметров:

μˆ = 1 ∑n xi ,

n i=1

179

Для процесса AR(2) теоретическая автокорреляционная функция плавно убывает по абсолютной величине. Теоретические частные коэффициенты автокорреляции первого и второго порядков отличны от нуля, коэффициенты более высоких порядков равны нулю.

Рассмотрим процесс AR(p). Случайный процесс y(t) со средним значением называется процессом авторегрессии порядка p, если выполняется соотношение:

y(t)− μ =φ1 (y(t −1)− μ)+φ2 (y(t −2)− μ)+... +φp (y(t − p)− μ)+εt .

Если среднее значение процесса равно нулю, тогда имеем:

В общем случае автокорреляционная функция стационарного AR-процесса является суммой затухающих экспонент и затухающих синусоидальных волн.

Для оценки параметров используют систему уравнений Юла– Уолкера, предварительно определив выборочные автокорреляционные функции:

180