Для примера 2.1 tb0 = 43,,759 =1,218; tb1 = 00,926,03 =30,9 . Крити-

ческое значение при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν=20−2=18 равно tкрит =t 0,205; 18 =2,101.

Следовательно, коэффициент b1 статистически значим. Гипотеза о статистической незначимости коэффициента b0 не отклоняется. Это означает, что в данном случае свободным членом уравнения регрессии можно пренебречь ирассматривать регрессиюкак ˆy =b1x .

§ 6. Интервальные оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии

Базовыми предпосылками МНК является предположение о нормальном распределении отклонений εi с нулевым математиче-

ским ожиданием и постоянной дисперсией, т. е. εi φ (0,σ2ε).

Это позволяет получать не только наилучшие линейные несмещенные точечные оценки b0 и b1 коэффициентов β0 и β1 линейного уравнения регрессии, но и находить их интервальные оценки, что дает определенные гарантии точности.

Доверительные интервалы для коэффициентов имеют вид:

Фактически доверительный интервал определяет значения теоретических коэффициентов регрессии β0 и β1, которые будут приемлемыми с надежностью 1−α при найденных оценках b0 и b1.

Если обратиться к примеру 2.1, то 95%-е доверительные интервалы для коэффициентов будут следующими:

56

-3,44 < β 0 < 12,94;0,863 < β1 < 0,989 .

§7. Доверительные интервалы для зависимой переменной

Одной из центральных задач эконометрического моделирования является предсказание (прогнозирование) значений зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных. Здесь возможен двоякий подход: либо предсказать условное математическое ожидание зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных (предсказание среднего значения), либо прогнозировать некоторое конкретное значение зависимой переменной (предсказание конкретного значения).

Рассмотрим предсказание среднего значения.

Пусть построено уравнение парной регрессии ˆyi =b0 +b1xi , на основе которого необходимо предсказать условное математическое ожидание M (Y (X =x p) переменной Y при X =x p . Сначала определим

точечнуюоценкуматематическогоожиданиязависимойпеременной:

ˆy p =b0 +b1x p .

Тогда, с заданной надежностью 1−α, при любом конкретном значении x p объясняющей переменной доверительный интервал

57

Предсказание индивидуальных значений зависимой переменной.

Пусть нас интересует некоторое возможное значение yp переменной Y при определенном значении x p объясняющей перемен-

ной X. Тогда интервал:

определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 100α% точек наблюдений значений Y при X =xp . Заметим, что

данный интервал шире доверительного интервала для условного математического ожидания.

Построенные интервалы наиболее узкими будут при xp =x . По

мере удаления xp от среднего значения доверительные интервалы расширяются. Поэтому необходимо достаточно осторожно экстраполировать полученные результаты на прогнозные области. С другой стороны, с ростом числа наблюдений n эти интервалы сужаются к линии регрессии при n →∞.

b0 +b1x p =4,46+0,928×160=152,9; 152,9−2,5< β0 +β1x p <152,9+2,5 ;

150,4< β0 +β1x p <155,4.

Рассмотрим предсказание индивидуальных значений зависимой переменной. Пусть xp =160, тогда:

58

Доверительный интервал имеет вид:

b0 +b1x p ±4,9=4,46+0,928×160±4,9 .

§ 8. Проверка общего качества уравнения регрессии. Коэффициент детерминации

После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии, которое оценивается по тому, как хорошо эмпирическое уравнение регрессии согласуется со статистическими данными. Другими словами, насколько широко рассеяны точки наблюдений относительно линии регрессии.

Рассмотрим тождество

(yi −y)=(ˆyi −y)+(yi −ˆyi)

или

(yi −y)=(ˆyi −y)+ei .

Возведем обе части тождества в квадрат и просуммируем по i от 1 до n. Учитывая, что остатки ei не коррелируют со значениями зависимой переменной ˆyi , рассчитанными по уравнению регрес-

сии, получим:

TSS =ESS +RSS ,

59

где TSS =∑n (yi−y)2 — общая сумма квадратов отклонений значе-

i=1

ний зависимой переменной от среднего значения;

ESS =∑n (ˆyi−y)2 — сумма квадратов отклонений значений за-

i=1

висимой переменной, объясненных регрессией от среднего значения (объясненная сумма квадратов отклонений);

отклонений.

Каждой сумме квадратов отклонений соответствует число, называемое ее числом степеней свободы. Это число показывает, сколько независимых единиц информации, определяемых по n независимым числам y1, y2,..., yn , требуется для того, чтобы вычис-

лить эту сумму квадратов. Например, для того чтобы вычислить TSS, необходимо n-1 независимых единиц информации, поскольку по определению среднего значения только (n-1) из чисел

том b1, т. е. имеет одну степень свободы. Следовательно, RSS имеет (n-2) степени свободы. Это отражает тот факт, что в данном случае сумма квадратов остатков вычисляется для модели, имеющей два параметра. Вообще, число степеней свободы остаточной суммы квадратов есть разность между числом наблюдений и числом оцениваемых параметров. Можно построить таблицу дисперсионного анализа:

60

Суммарной мерой общего качества уравнения регрессии (соответствия уравнения регрессии статистическим данным) является коэффициент детерминации R2. Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

Коэффициент детерминации R2 определяет долю разброса зависимой переменной, объяснимую регрессией Y на X. Дробь

n

∑ei2

i=1

∑n (yi−y)2

i=1

определяет долю разброса зависимой переменной, не объясненную регрессией Y на X. В общем случае справедливо соотношение

0≤R2 ≤1.

Если между величинами Y и X существует значимая линейная

чае коэффициент детерминации R2 близок к единице. Чем теснее линейная связь между Y и X, тем ближе коэффициент детерминации R2 к единице. Чем слабее такая связь, тем R2 ближе к нулю.

61

Отметим, что в случае парной линейной регрессии r2xy =R2 , где r xy — коэффициент корреляции зависимой и объясняющей пере-

менной.

Не следует абсолютизировать высокое значение R2, так как коэффициент детерминации может быть близким к единице просто в силу того, что обе исследуемые величины Y и X имеют выраженный временной тренд, не связанный с их причинно-следственной зависимостью. Какое значение R2 можно считать удовлетворительным? Анализ статистической значимости коэффициента детерминации будет изложен ниже.

Проверяют гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации R2:

H 0 : R2 =0,

H 1 : R2 >0.

Для проверки данной гипотезы часто используется следующая F-статистика:

где n — число наблюдений, m — число объясняющих переменных. В случае парной линейной регрессии (одна объясняющая перемен-

ная) F = R2 (n−2). 1−R2

Величина F при выполнении предпосылок МНК и при справедливости H0 имеет распределение Фишера. Показатели F и R2 равны или не равны нулю одновременно. Для проверки нулевой гипотезы H0:F=0, R2=0 при заданном уровне значимости α по таблицам критических точек распределения Фишера находится критическое значение Fкрит=Fα; m; n-m-1. Нулевая гипотеза отклоняется, если Fнабл>Fкрит. Это равносильно тому, что R2 >0 , т. е. R2 статистически значим.

Для примера 2.1 имеем:

62