a1 |
|
|
r12 |
r13 |
... |
r1m |
|
1 |
|||||
|
|
r21 |
1 |
r23 |
... |
r2m |
a2 |
|
r32 |
1 |
... |
r3m |
|
... |
= r31 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... ... |
||||
am |
|
rm2 |
rm3 |
... |
1 |
|
|
|
rm1 |
||||
−1 |
|
|
|
|
r1y |
|
|
|
|
|
|
|
r2 y |
(3.23) |
|
× |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rmy |
|
|
|
|
|
|
Уравнение в исходных переменных имеет вид:
Y = β0 +β1 X 1+β2 X 2 +...+βm X m +ε. |
(3.24) |
Оценки параметров моделей (3.22) и (3.24) связаны соотношениями:
b j =a j |
S y |
( j =1,...,m) , |
|
S x j |
|||
|
(3.25) |
b0 =Y −b1 X 1−b2 X 2 −...−bm X m .
§ 10. Частные уравнения регрессии
На основе линейного уравнения множественной регрессии:
Y = β0 +β1 X 1+β2 X 2 +...+βm X m +ε
могут быть найдены частные уравнения регрессии, которые связывают зависимую переменную Y с объясняющей переменной Xj при закреплении остальных объясняющих переменных на среднем уровне. Частные уравнения регрессии имеют следующий вид:
Y x1 x2 ,x3,...,xm = β0 +β1X 1+β2 X 2 +β3 X 3 +...+βm X m +ε, Y x2 x1,x3,...,xm = β0 +β1X 1+β2 X 2 +β3 X 3 +...+βm X m +ε,
…………………………………………………..
Y xm x1,x2 ,...,xm−1 = β0 +β1 X 1+β2 X 2 +...+βm−1X m−1+βm X m +ε .
84
При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих объясняющих переменных они принимают вид уравнений парной линейной регрессии. Оценки моделей примут вид:
Y x1 x2 ,x3,...,xm =B1+b1 X 1 , Y x2 x1,x3,...,xm =B2 +b2 X 2 ,
…………………..
Y xm x1,x2 ,...,xm−1 =Bm +bm X m ,
где свободные коэффициенты равны:
B1 =b0 +b2 X 2 +b3 X 3 +...+bm X m , B2 =b0 +b1X 1+b3 X 3 +...+bm X m ,
………………………………..
Bm =b0 +b1X 1+b2 X 2 +...+bm−1 X m−1 .
В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние объясняющей переменной на зависимую, ибо остальные объясняющие переменные модели закреплены на неизменном уровне. Влияние остальных объясняющих переменных присоединено к свободным коэффициентам Bj. Это позволяет определить частные коэффициенты эластичности:
Эx j =b j × |
X j |
. |
|
Y x j x1,x2 ,...,x j−1,x j+1,...,xm |
|||
|
|
||
|
|
|
Резюме
Множественная линейная регрессия является обобщением парной линейной регрессии на несколько объясняющих переменных. При выполнении предпосылок Гаусса–Маркова оценки параметров уравнения множественной линейной регрессии, полученные методом наименьших квадратов, обладают свойствами несмещенности, эффективности и состоятельности. Статистическая значимость коэффициентов и качество подбора уравнения проверяются с помощью распределений Стьюдента и Фишера. Коэффициент при объясняющей переменной показывает, на сколько единиц изменится
85
зависимая переменная, если объясняющая вырастет на одну единицу при фиксированном значении остальных объясняющих переменных. В случае множественной регрессии дополнительно предполагается отсутствие мультиколлинеарности объясняющих переменных.
Вопросы для самопроверки
1.С какой целью применяется скорректированный коэффициент детерминации? Запишите формулу для его расчета.
2.Как ведет себя обычный коэффициент детерминации при введении в модель множественной линейной регрессии дополнительной объясняющей переменной?
3.Какая дополнительная, по сравнению с парной регрессией, предпосылка Гаусса–Маркова используется в модели множественной регрессии?
4.Что и при каких условиях показывает коэффициент при ка- кой-либо объясняющей переменной в модели множественной линейной регрессии?
5.Как связаны коэффициенты модели в исходных и стандартизованных переменных?
6.Каков смысл коэффициентов при объясняющих переменных
встандартизованной модели?
7.Через какую точку всегда проходит график уравнения парной линейной регрессии в стандартизованной модели?
8.Через какую точку всегда проходит график уравнения парной линейной регрессии в исходных переменных?
9.Пусть все стандартизованные объясняющие переменные равны нулю. Чему равно значение стандартизованной зависимой переменной? Чему при этом равно значение исходной зависимой переменной?
10.Как получают частные уравнения регрессии?
11.Как получают стандартизованные значения переменных?
12.Студент построил следующую модель:
ˆy =b0 +b1x1+b2 x2 ,
86