Для того чтобы выписать решение в явном виде, перейдем к матричным обозначениям:

Тогда система может быть записана в виде:

R Φ = r ,

аее решение будет иметь вид:

Φ= R−1r .

Вобщем случае условие стационарности процесса AR(p) формулируют в терминах корней его характеристического уравнения. Для стационарности процесса (9.17) необходимо и достаточно, чтобы все корни его характеристического уравнения

лежали вне единичного круга, т. е. превосходили бы по модулю единицу. В общем случае корни уравнения (9.18) являются комплексными числами.

Для процесса авторегрессии первого порядка характеристическое уравнение имеет вид: 1 −φ z = 0 . Если φ < 0, тогда для корня

уравнения z0 выполняется условие z0 >1. Таким образом, из условия φ < 0 следует стационарность процесса (9.13).

§6. Процессы скользящего среднего MA(q)

В1938 г. Вольд (Wold) доказал следующий фундаментальный результат: всякий слабо стационарный временной ряд может быть представлен в виде линейной комбинации белых шумов, с разными весовыми коэффициентами:

181

y(t)= μ + εt +θ1εt −1 + ... +θq εt −q + ....

Случайный процесс y(t) называется процессом скользящего среднего MA(q) порядка q, если в разложении Вольда присутствует конечное число слагаемых:

где εt — процесс белого шума, понимаемый в широком или узком смысле.

Отметим, что модель можно обобщить до процесса, имеющего ненулевое математическое ожидание μ:

y(t)= μ +εt +θ1εt−1 +... +θq εt −q .

Рис. 9.10. Процесс скользящего среднего MA(1)

Название «скользящее среднее» объясняется тем, что текущее значение случайного процесса определяется взвешенным средним q предыдущих значений белого шума. Процедуру скользящего среднего часто используют для того, чтобы сгладить данные, которые сильно колеблются.

Очевидно, что MA(q) — стационарный процесс,

182

My(t)= 0, Dy(t)=σ2 (1+θ12 +... +θ2q).

Нетрудно подсчитать, что для k > q выполняется cov(y(t), y(t +k))=0 . Отсюда следует, что автокорреляция r(k) обращается в нуль вне некоторого конечного участка:

Это свойство автокорреляции хорошо различимо на ее графике. Оно позволяет уверенно различать процессы скользящего среднего.

Таким образом, процесс MA(q) является стационарным при любых вещественных значениях параметров θ1,θ2 ,...,θq . Однако чтобы избежать случая, когда текущее значение ряда будет зависеть от своих предыдущих значений, берущихся с весами, бесконечно растущими по мере удаления в прошлое, необходимо потребовать, чтобы корни характеристического уравнения:

1−θ1 z −θ2 z2 −... −θq zq = 0

лежали вне единичного круга, т. е. z j >1(j=1, 2, …, q). Это утвер-

ждение называют условием обратимости.

Можно получить следующую систему уравнений, связывающую автокорреляционную функцию с параметрами уравнения:

r(k)= 0, k > q.

Полученная система является нелинейной. К сожалению, оценивание коэффициентов θ j по наблюдаемому участку траектории —

довольно сложная в теоретическом и вычислительном отношении задача.

183

Рассмотрим процессы первого и второго порядка, которые особо важны для практики.

Уравнение процесса MA(1) имеет вид:

Таким образом, для оценки параметра θ процесса (9.22) необходимо решить квадратное уравнение:

Из двух решений выбирают то, которое удовлетворяет условию

θ <1.

Уравнение процесса MA(2) имеет вид:

y(t)= εt +θ1εt−1 +θ2εt−2 .

Должны выполняться условия:

θ1 < 2,

θ2 <1− θ1.

Для оценки параметров необходимо решить систему из двух нелинейных (относительно θ1,θ2 ) уравнений:

rˆ(1)= −θ1(1−θ2),

1+θ12 +θ22

Для процесса MA(q) теоретические коэффициенты автокорреляции r(k) при 1 ≤ k ≤ q отличны от нуля, а остальные равны нулю.

184