2.Качественный признак имеет три альтернативы, сколько фиктивных переменных необходимо использовать в модели для его описания?

3.Имеется два качественных признака, у каждого по три альтернативы, сколько фиктивных переменных необходимо использовать в модели?

4.Что произойдет с графиком уравнения парной линейной регрессии, еслив модель ввести аддитивноодну бинарную переменную?

5.Что произойдет с графиком парной линейной регрессии, если в модель ввести одну бинарную переменную аддитивно и мультипликативно?

6.Чем различаются ANOVA- и ANCOVA-модели?

ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Цель: научиться строить и оценивать параметры нелиных регрессионных моделей.

Методические указания

Здесь рассматриваются модели, которые сводятся к линейным зависимостям. Необходимо научиться различать виды нелинейных моделей: линейные по параметрам, внутренне линейные и внутренне нелинейные. Следует обратить внимание, что в общем случае методы оценки качества уравнения с помощью t- и F-статистик относятся к линейной или линеаризованной модели.

§ 1. Общие понятия

Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии, безусловно, не даст положительного результата.

Сначала изложим некоторые определения, которые полезны при ответах на задания различных тестов. Модель называется линейной, если она является линейной по входящим в нее переменным. Нелинейные модели регрессии можно разделить на два класса:

1)регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, нолинейныепооцениваемымпараметрам;

2)регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

143

Модели первого класса сводятся к линейным простой заменой переменных. Например, к таким моделям относятся:

Нелинейные по оцениваемым параметрам модели бывают внутренне линейными и внутренне нелинейными. Внутренне линейными называются модели, которые сводятся к линейным после некоторых операций с последующей заменой переменных. Например, к линейной модели путем логарифмирования сводятся модели:

y = β0 xβ1 ε, (или y = β0xβ1 eε ). y = β0eβ1x ε (или y = β0eβ1x+ε ).

Модель называется внутренне нелинейной, если ее нельзя привести к линейному виду. Например, если в двух предыдущих моделях случайный фактор входит аддитивно, то их нельзя привести к линейному виду:

y = β0 xβ1 +ε, y = β0e β1x+ε.

Последние две модели оцениваются методами для нелинейных моделей. Мы ограничимся рассмотрением нелинейных моделей, допускающих сведение к линейным. Для простоты изложения и графической иллюстрации будем рассматривать модели парной регрессии с последующим естественным переходом к моделям множественной регрессии.

144

§ 2. Степенные модели (логарифмические)

Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой (степенная зависимость от X)

где β0 и β1 — параметры модели (константы, подлежащие определению), ε — случайный член.

Эта функция может отражать зависимость спроса Y на благо от его цены X (в данном случае β<0 ) или от дохода X (в данном слу-

чае β>0 ; при такой интерпретации переменных X и Y функция

(8.1) называется функцией Энгеля). Функция (8.1) может отражать также зависимость объема выпуска Y от использования ресурса X (производственная функция), в которой 0< β<1 , а также ряд дру-

гих зависимостей.

Модель (8.1) не является линейной функцией относительно X. Стандартным и широко используемым подходом к анализу функций данного рода в эконометрике является логарифмирование по основанию e=2,71828... Прологарифмировав обе части (8.1), имеем логарифмическую модель:

Линейная модель (8.3) подробно рассмотрена ранее. Если все необходимые предпосылки классической линейной регрессионной модели для (8.3) выполнены, то по МНК можно определить наи-

лучшие линейные несмещенные оценки коэффициентов β*0 и β1 .

Параметры модели (8.3) оцениваются по обычным формулам парной регрессии с учетом замены переменных:

145

Очевидно, оценка параметра β0 равна b0 =eb*0 =exp(b*0).

Отметим, что коэффициент β1 определяет эластичность переменной Y по переменной X, т. е. процентное изменение Y для данного процентного изменения X. Действительно, продифференцировав левую и правую части (8.3) по X, получим:

Коэффициент β является константой, указывая на постоянную эластичность. Поэтому зачастую двойная логарифмическая мо-

дель (или модель (8.1) называется моделью постоянной эластичности.

Заметим, что в случае парной регрессии обоснованность использования логарифмической модели проверить достаточно про-

сто. Вместо наблюдений (xi,yi) рассматриваются наблюдения (ln xi,ln yi),i =1, 2, ..., n . Вновь полученные точки наносятся на

корреляционное поле. Если их расположение соответствует прямой линии, то произведенная замена удачна и использование логарифмической модели обосновано.

Пример 8.1. Пусть имеются следующие данные (табл. 8.1).

146

Таблица 8.1

Данные для анализа степенной модели

Если рассматривать линейную модель, то получим результат, представленный на рис. 8.1. Если рассмотреть степенную модель и прологарифмировать обе переменные, то получим результат, представленный на рис. 8.2.

Рис 8.1. Линейная модель

Рис 8.2. Степенная модель (линейная в логарифмах)

147

Таблица 8.2

Расчетная таблица для определения параметров степенной модели

Данная модель легко обобщается на большее число переменных. Например,

lnY = β0 +β1ln X 1+β2 ln X 2 +ε.

Здесь коэффициенты β1, β2 являются эластичностями переменной Y по переменным X1 и X2 соответственно.

Хорошо известна производственная функция Кобба–Дугласа:

Y = AK αL β

148