где y — прибыль, x1 — выручка, x2 — затраты. Каким числам будут равны коэффициенты уравнения? Чему равен коэффициент детерминации? Как называется такая зависимость?

ГЛАВА 4. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Цель: изучение нарушения одной из предпосылок условий Га- усса–Маркова, а именно: независимости случайных возмущений в различных наблюдениях.

Методические указания

Внимание следует обратить на обнаружение автокорреляции остатков, ее последствия и методы устранения. Перед изучением главы следует вернуться к определению коэффициента корреляции. Особое внимание следует обратить на статистику Дарбина– Уотсона и метод Кохрана–Оркатта. Отметим, что при переводе фамилий некоторых ученых на русский язык встречаются различные варианты их написания. Для определения критических значений статистики Дарбина–Уотсона придется обратиться к соответствующей таблице. Обратите внимание на вычисление коэффициентов по формуле Эйткена и сравните ее с формулой обычного метода наименьших квадратов. Запомните, что метод, применяемый в случае автокорреляции остатков и (или) гетероскедастичности остатков, называется обобщенным методом наименьших квадратов.

§1. Суть и причины автокорреляции

Вклассической регрессии предполагается, что случайная составляющая модели во всех наблюдениях имеет математическое ожидание, равное нулю. Данное условие фактически всегда выполняется, поскольку ненулевое математическое ожидание случайной составляющей всегда можно включить в свободный член уравнения регрессии. Чтобы глубже понять роль предпосылок о гомоскедастичности и некоррелированности случайного фактора в различных наблюдениях, рассмотрим ковариационную матрицу вектора случайных отклонений:

87

Данная матрица симметрична.

В случае гомоскедастичности случайных возмущений и при их некоррелированности (отсутствии автокорреляции):

где E — единичная матрица. При выполнении данных предпосылок оценки параметров модели, полученные методом наименьших квадратов, имеют минимальную дисперсию, т. е. обладают свойством эффективности.

В эконометрической литературе линейную модель регрессии с ковариационной матрицей общего вида называют обобщенной ли-

нейной регрессионной моделью.

Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений εi от значений отклонений во всех других наблюдениях. Отсутствие зависимости гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями (σ (εi ,ε j )= cov(εi ,ε j )= 0 при i ≠ j)

и, в частности, между соседними отклонениями σ(εi−1, εi)=0; при

i = 2, 3, …, n.

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных

88

временных рядов. При использовании перекрестных данных наличие автокорреляции (пространственной корреляции) крайне редко. Поэтому в дальнейших выкладках вместо символа i порядкового номера наблюдения будем использовать символ t, отражающий момент наблюдения. Объем выборки при этом будем обозначать символом T вместо n. В экономических задачах значительно чаще встречается так называемая положительная ав-

токорреляция (σ(εt−1, εt )>0), нежели отрицательная автокорре-

ляция (σ(εt−1, εt )<0). В большинстве случаев положительная авто-

корреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых не учтенных в модели факторов.

Суть автокорреляции поясним следующим примером. Пусть исследуется спрос Y на прохладительные напитки в зависимости от дохода X по ежемесячным данным. Зависимость, отражающая увеличение спроса с ростом дохода, может быть представлена линейной функцией Y = β0 +β1X , изображенной на рис. 4.1.

Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Возможная схема рассеивания точек в этом случае представлена на рис. 4.2. Такая ситуация может иметь место, например, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима — лето).

89

Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.

Ошибки спецификации. Отсутствие в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.

Рис. 4.2. Отрицательная автокорреляция

Инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица, ВНП и т. п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности.

Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной продукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, следовательно, цена на нее снизится и т. д.

Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри

90