r (0)=1, r (4)=θ4 ,

r (k)=0 для остальных k >0.

Комбинации несезонных и сезонных изменений реализуются, например, в моделях ARMA((1, 4), 1)

Кроме рассмотренных примеров аддитивных сезонных моделей, употребляются также и мультипликативные спецификации, например,

В модели (9.28) допускается взаимодействие составляющих скользящего среднего на лагах 1 и 4 (т. е. значений εt-1 и εt-4), а во второй — взаимодействие авторегрессионных составляющих на лагах 1 и 4 (т. е. значений y(t-1) и y(t-4)). Модели (9.28-9.29) являются частными случаями аддитивных моделей:

y(t)=φ1 y(t −1)+εt +θ1εt−1 +θ4εt−4 +θ5εt−5,

y(t)=φ1 y(t −1)+φ4 y(t − 4)+φ5 y(t −5)+εt +θ1εt−1 .

c θ5 =θ1θ4 , φ5 =φ1φ4 . При приближенном выполнении последних

соотношений (по крайней мере, если гипотезы о наличии таких соотношений не отвергаются), естественно перейти от оценивания аддитивной модели к оцениванию мультипликативной модели.

§ 9. Нестационарные временные ряды. Процессы авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего ARIMA(p, k, q)

Рассмотрим простую модель нестационарного ряда: y(t)= β0 + β1t +εt .

189

В результате детрендирования (вычитания из значений ряда y(t) тренда β0 + β1t ) получим стационарный ряд — процесс белого

шума εt.

Однако для многих временных рядов операция удаления детерминированного тренда не приводит к стационарному ряду. Пытаться остационарить ряд можно и другим способом. Именно, можно перейти от ряда уровней y(t) к ряду первых разностей y(t)= y(t)− y(t −1). В теории временных рядов такой переход на-

зывают дифференцированием ряда. Аналогично находят разности второго и более высоких порядков:

2 y(t)= y(t)− y(t−1),

. . . . . . . . . . . . . .

k y(t)= k −1 y(t)− k −1 y(t−1).

Можно показать, что

k y(t)= y(t)−C1k y(t −1)+C2k y(t − 2)−... +(−1)k y(t − k), t = k +1, k + 2, ..., N.

Временной ряд y(t) называется стационарным относительно детерминированного тренда f(t), если ряд y(t)− f (t) стационар-

ный. Если ряд y(t) стационарен относительно некоторого детерминированного тренда, то говорят, что этот ряд принадлежит классу

рядов, стационарных относительно детерминированного трен-

да, или что он является TS рядом (TS — time stationary). В класс TS-рядов включаются также стационарные ряды, не имеющие детерминированного тренда.

Временной ряд y(t) называется интегрированным порядка k, k = 1, 2, …, если:

1) ряд y(t) не является стационарным или стационарным относительно детерминированного тренда, т. е. TS-рядом;

ференцирования ряда y(t), не является TS-рядом.

190

Совокупность интегрированных рядов различных порядков k = 1, 2, … образует класс разностно стационарных, или DS-ря-

дов (DS — difference stationary). Если некоторый ряд y(t) принад-

лежит этому классу, то мы говорим о нем как о DS-ряде.

Пусть ряд y(t) — интегрированный порядка k. Подвергнем этот ряд k-кратному дифференцированию. Если в результате получается стационарный ряд типа ARMA(p, q), то говорят, что исходный ряд y(t) является рядом типа ARIMA(p, k, q), или k раз проинтегри-

рованным ARMA(p, q) рядом (ARIMA — autoregressive integrated moving average). Процесс авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего ARIMA(p, k, q) был предложен Дж. Боксом и Г. Дженкинсом.

Если исследуемый ряд нестационарный, то его автокорреляционная функция не будет убывать. Если ряд стационарен, то мы знаем, что, начиная с какого-то номера, теоретические автокорреляции будут убывать. Поэтому можно рассчитать их оценки — выборочные автокорреляции, и посмотреть, убывают они или нет. Если ряд окажется стационарным, перейти к определению параметров p и q, если нет, то надо построить ряд первых разностей и проверить на его стационарность.

Таким образом, модель Бокса–Дженкинса предназначена для описания нестационарных временных рядов y(t), t = 1, 2, …, N, обладающих следующими свойствами:

1)ряд включает в себя аддитивно составляющую f(t), имеющую вид алгебраического полинома от t степени k −1 (k ≥1); при этом коэффициенты полинома могут быть как стохастической, так

инестохастической природы;

2)ряд yk(t), t = 1, 2, …, N – k получившийся из y(t) после применения к нему k-кратной процедуры последовательных разностей может быть описан моделью ARMA(p, q).

Это означает, что ARIMA(p, k, q) — модель y(t), t = 1, 2, …, N, может быть записана в виде:

yk (t )=φ1 yk (t −1)+... +φ p yk (t − p)+ εt +θ1εt −1 +... +θq εt −q ,

где

191

В первую очередь, следует подобрать порядок k модели. С этой целью можно анализировать автокорреляционные функции процессов y(t), 2 y(t), … пока не доберемся до нужного порядка k. Предполагается, что необходимая для получения стационарности

степень k разности k достигнута, если автокорреляционная функция ряда yk (t)= k y(t) быстро затухает. На практике обычно k равно 0, 1 или 2. После подбора порядка k мы практически анализиру-

ем уже не сам ряд y(t), а его k-е разности, т. е. ряд yk (t)= k y(t), его идентификация сводится к идентификации ARMA(p, q)-модели,

рассмотренной выше.

При описании несезонных временных рядов редко встречаются с ситуацией, в которой порядки p, q, k были бы больше 2.

§ 10. Регрессионные модели с распределенными лагами

Пусть исследуется показатель Y. Его значение в текущий мо-

y(t + 2), ..., y(t + k)) значения Y в предыдущие моменты обозначают-

ся yt −1, yt −2 ,..., yt −k ,... (y(t −1), y(t − 2),..., y(t − k )).

Переменные, влияние которых характеризуется определенным запаздыванием, называются лаговыми.

Модели с лагами (модели с распределенными лагами) — это модели, содержащие в качестве лаговых переменных лишь независимые (объясняющие) переменные:

192

Число лагов может быть конечным или (теоретически) бесконечным.

Для случайного фактора εt выполняются условия обычного метода наименьших квадратов.

В эконометрическом анализе такие модели используются достаточно широко, так как во многих случаях воздействие одних экономических факторов на другие осуществляется не мгновенно, а с некоторым временным запаздыванием — лагом. Причин наличия лагов в экономике достаточно много, и среди них можно выделить следующие.

Психологические причины, которые обычно выражаются через инерцию в поведении людей. Например, люди тратят свой доход постепенно, а не мгновенно. Привычка к определенному образу жизни приводит к тому, что люди приобретают те же блага в течение некоторого времени даже после падения реального дохода.

Технологические причины. Например, изобретение персональных компьютеров не привело к мгновенному вытеснению ими больших ЭВМ в силу необходимости замены соответствующего программного обеспечения, которое потребовало продолжительного времени.

Институциональные причины. Например, контракты между фирмами, трудовые договоры требуют определенного постоянства в течение времени контракта (договора).

Механизмы формирования экономических показателей. Напри-

мер, инфляция во многом является инерционным процессом; денежный мультипликатор (создание денег в банковской системе) также проявляет себя на определенном временном интервале и т. д.

В моделях (9.21-9.22) коэффициент β0 называют краткосроч-

ным мультипликатором. Он характеризует изменение среднего значения Y под воздействием единичного изменения переменной X в тот же самый момент времени.

Сумму всех коэффициентов ∑β j называют долгосрочным

j

мультипликатором. Она характеризует изменение Y под воздействием единичного изменения переменной X в каждом из рассматри-

193

ваемых временных периодов. Любую сумму коэффициентов

h

∑β j, (h < k ) называют промежуточным мультипликатором.

j =1

При применении к модели обычного метода наименьших квадратов возникает проблема корреляции между объясняющими переменными (высокая степень мультиколлинеарности). Кроме того, при большом числе лагов оценивание происходит при значительном уменьшении числа степеней свободы.

Эти трудности привели к попыткам принять некоторые априорные предположения о форме весовых коэффициентов β0 , β1,..., βk ,

чтобы уменьшить число оцениваемых параметров.

Рассмотрим геометрическую лаговую структуру Койка

(L. M. Koyck).

Изучается модель с бесконечным числом лагов: yt =α + β0 xt + β1 xt −1 + β2 xt −2 +...+εt .

Естественным допущением является требование сходимости

yt значения xt−i убывает по мере возрастания временного интервала

между ними. Это естественно, поскольку текущее значение y не должно зависеть от значения x, находящегося в бесконечно далеком прошлом.

Койк постулировал, что нормированные коэффициенты:

убывают в геометрической прогрессии, т. е. wi = (1−λ)λi , где 0 <λ <1.

Это допущение приводит к огромным упрощениям модели. Параметр λ характеризует скорость убывания коэффициентов с увеличением лага.

Исходую модель можно записать в виде:

194

В результате получили уравнение всего с несколькими неизвестными параметрами. Однако случайная компонента (εt −λεt −1) зависит от оцениваемого параметра и коррелирует с объясняющей

переменной yt−1 .

Мы видим, что в уравнении в качестве объясняющей переменной появилось лаговое значение зависимой переменной yt−1 . К по-

добным результатам приводят и ряд других моделей. Хорошо известными моделями такого рода являются модель частичной корректировки и модель адаптивных ожиданий.

Рассмотрим модель частичной корректировки. Аргументом в пользу применения частичной корректировки могут служить отсутствие полного представления об объекте, его инерционность, а также плата за изменения.

Пусть y*t , определяемое как

указывает оптимальное значение y, соответствующее xt. Например, если xt отражает имеющийся в наличии потребительский доход, то

y*t может представлять соответствующую оптимальную величину

потребительских расходов. Когда доход изменяется, потребитель может не располагать всей необходимой информацией о своем пространстве потребностей, чтобы немедленно приспособиться к новой ситуации. Поэтому его поведение будем описывать с помощью корректирующей функции:

195

указывающей, что в течение текущего периода он пройдет лишь часть расстояния, отделяющего его от исходного состояния yt−1 до

оптимального y*t . Уравнение (9.35) преобразуется к следующему виду:

которая называется моделью частичной корректировки. Из (9.36)

видно, что текущее значение yt является взвешенным средним желаемого уровня y*t и фактического значения данной переменной в

предыдущий период. Чем больше λ , тем быстрее идет корректировка. При λ =1 полная корректировка происходит за один период. При λ = 0 корректировка не происходит вовсе.

Модель частичной корректировки (9.37) аналогична модели Койка. Она также включает в себя случайную объясняющую пере-

менную yt−1 . Но в данной модели эта переменная не коррелирует с

текущим значением случайного отклонения εt.

Трудность, связанная с моделью частичной корректировки, состоит в том, что иногда предположение о зависимости оптимального значения y только от текущего значения x оказывается неподходящим. Если значение x меняется от периода к периоду, то текущее его значение не может служить решающим мотивом для принятия решений. Эта точка зрения получила отражение в модели адап-

тивных ожиданий.

Ожидания играют существенную роль в экономической активности. Это затрудняет моделирование соответствующих экономических процессов, и осуществление на их базе точных прогнозов развития экономики. Особенно серьезна данная проблема на макроэкономическом уровне. Например, прогнозирование объема инвестиций только на основе процентной ставки не позволяет полу-

196

чить удовлетворительный прогноз. Весьма существенную роль играет экономическая политика государства, на основе которой потенциальные инвесторы принимают свои решения. В частности, политика, направленная на обеспечение полной занятости, рассматривается как стимулирование инфляции, что подрывает доверие бизнесменов и снижает объемы инвестиций. Измерение и моделирование «ожидания» его является сложной и до сих пор не имеющей удовлетворительного решения задачей.

Одним из направлений решения рассматриваемой задачи является модель адаптивных ожиданий. В данной модели происходит постоянная корректировка ожиданий на основе получаемой информации о реализации исследуемого показателя. Если реальное значение показателя оказалось больше ожидаемого, то ожидаемое в следующем периоде значение корректируется в сторону увеличения. В противном случае — наоборот. Величина корректировки пропорциональна разности между реальным и ожидаемым значениями. Предположим, например, что зависимая переменная yt свя-

зана с ожидаемым значением объясняющей переменной xt :

Данное уравнение не является операциональным, так как в левой части содержится ненаблюдаемое значение объясняющей переменной. Поэтому модель необходимо дополнить предположением о том, как формируются ожидания.

Общепринятым является предположение об адаптивных ожиданиях, которое может быть записано в виде:

Коэффициент 0 ≤γ ≤1 называется коэффициентом ожидания.

Ожидания экономических объектов в этом случае складываются из прошлых ожиданий, скорректированных на величину ошибки в ожиданиях, допущенных в предыдущем периоде времени.

Уравнение (9.39) можно переписать в виде:

197

Из (9.40) видно, что ожидаемое значение x* является взвешенным средним между реальным значением xt и его ожидаемым зна-

чением x*t−1 в предыдущий период с весами γ и(1−γ ) соответственно.

В уравнении (9.38) yt выражена через величину xt , которая не наблюдаема и которую нужно заменить реальным текущим и (или) прошлыми значениями переменной x и, может быть, прошлыми значениями переменной y.

Если (9.40) выполняется для периода t, то оно также должно выполняться для периода t - 1.

Если в выражении (9.41) выбрать позапрошлый период, то вме-

сто x*t−1 в (9.42) появляется x*t −2 . Повторив эту процедуру бесконечное число раз, получим:

В итоге модель адаптивных ожиданий сводится к утверждению, что ожидаемое значение переменной является взвешенным средним ее прошлых значений с геометрически убывающими весами. Подставив (9.43) в (9.38) и заменив (1 −γ ) на λ , получим:

откуда видно, что значение yt определяется текущим и прошлыми значениями x с лагами, подчиняющимися распределению Койка.

Когда схема формирования весов удовлетворяет предположению Койка, модели частичной корректировки или адаптивных ожиданий, в правой части модели появляются лаговые значения зависимой переменной, что ведет к возникновению новых проблем оценивания. Объясняющая переменная yt −1 носит случайный характер, что на-

198

рушает одну из предпосылок МНК. Кроме того, данная объясняющая переменная, скорее всего, коррелирует со случайным отклонением νt =εt −ρεt−1. Если для случайных отклонений εt ,εt −1 исход-

ной модели выполняется предпосылка 3 МНК, то для случайных отклонений ν t , очевидно, имеет место автокорреляция.

Рассмотрим метод, предложенный Уоллисом (K. F. Wallis). Этот метод состоит из трех этапов.

1. Оцениваются коэффициенты регрессии:

yt = β0 + β1 yt−1 + β2 xt +νt ,

где xt−1 используется в качестве инструментальной переменной для yt−1. Таким образом, вычисляют:

βˆ = [ZT X ]−1ZT Y .

для которых рассчитывают коэффициент автокорреляции первого порядка с учетом поправки на смещение:

n

199