§ 4. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

В силу случайного отбора элементов в выборку случайными являются также оценки b1 и b0 коэффициентов β1 и β0 теоретического уравнения регрессии. Их математические ожидания при выполнении предпосылок об отклонениях εi равны соответственно

M (b1)= β1, M (b0)= β0 . При этом оценки тем надежнее, чем

меньше их разброс вокруг β1 и β0, т. е. чем меньше дисперсии D(b0) и D(b1) оценок. Надежность получаемых оценок, очевидно, тесно связана с дисперсией D(εi) случайных отклонений εi. Согласно пред-

посылке 2, D(εi)=σ2 =const . Приведем формулы связи дисперсий коэффициентов b1 и b0 с дисперсией σ2ε случайных отклонений εi:

Очевидны следующие выводы.

• Дисперсии b1 и b0 прямо пропорциональны дисперсии случайного отклонения σ2ε . Следовательно, чем больше фактор случайности, тем менее точными будут оценки.

52

•Чем больше число n наблюдений, тем меньше дисперсии оценок. Это вполне логично, так как чем большим числом данных мы располагаем, тем вероятнее получение более точных оценок.

•Чем больше дисперсия (разброс значений) объясняющей переменной, тем меньше дисперсия оценок коэффициентов. Другими словами, чем шире область изменений объясняющей переменной, тем точнее будут оценки (тем меньше доля случайности в их определении).

Случайные отклонения εi не могут быть определены по вы-

n

∑ei2

S e2 = ni=−1 2 — необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии). Отметим, что корень квадрат-

n

∑ei2

ный из необъясненной дисперсии, т. е. Se = ni=−1 2 , называется

стандартной ошибкойоценки (стандартнойошибкойрегрессии).

53

ных величин b0 и b1, называемые стандартными ошибками коэффициентов регрессии.

Вернемся к примеру 2.1 (табл. 2.2). Как показывают расчеты

n

∑i 1 ei2 70,29

n=−2 = 18 =3,91,

тогда стандартная ошибка регрессии равна Se = 1,98. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии Sb0 ≈3,9;Sb1 ≈0,03 .

Таблица 2.2

Расчетная таблица (фактически при расчетах использовалось большее количество

знаков после запятой, чем отражено в таблице)

54

Окончание табл. 2.2

§ 5. Проверка статистической значимости коэффициентов парной линейной регрессии

В основе лежит следующее важное утверждение:

подчиняются центральному распределению Стьюдента (t-распреде- лению) с (n-2) степенями свободы.

При проверке гипотезы H0: bj = 0 против альтернативной гипотезы H1: bj ≠ 0, для коэффициентов b0 и b1 рассчитывается абсолютная величина t-статистики:

При выполнении исходных предпосылок модели эти дроби имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы ν=n−2 , где n — число наблюдений. Рассчитанное значение t-статистики сравнивается с критическим значением tкрит =t α2 , n−2 , где α — тре-

буемый уровень значимости. Напомним, что в данном случае рассматривается двухсторонняя критическая область. Коэффициент полагается статистически значимым, если его t-статистика превос-

ходит t крит =t α2 ,n−2 .

55