Рассчитаем статистику Дарбина–Уотсона (табл. 4.2):

Таблица 4.2

Расчетная таблица

Значение статистики Дарбина–Уотсона равно:

DW = 272,0027 ≈3,56 . 76,34294

Поскольку при 5%-м уровне значимости 4−dl =4−1,077=2,923 и при 1% уровне значимости 4−d l =4−0,811=3,189 , то при обо-

их уровнях значимости имеется отрицательная автокорреляция остатков.

§ 4. Методы устранения автокорреляции

96

Основной причиной наличия случайного члена в модели являются несовершенные знания о причинах и взаимосвязях, определяющих то или иное значение зависимой переменной. Поэтому свойства случайных отклонений, в том числе и автокорреляция, в первую очередь зависят от выбора формулы зависимости и состава объясняющих переменных. Так как автокорреляция чаще всего вызывается неправильной спецификацией модели, то необходимо, прежде всего, скорректировать саму модель. Возможно, автокорреляция вызвана отсутствием в модели некоторой важной объясняющей переменной. Следует попытаться определить данный фактор и учесть его в уравнении регрессии. Также можно попробовать изменить формулу зависимости (например, линейную на лог-линейную, линейную на гиперболическую и т. д.).

Однако если все разумные процедуры изменения спецификации модели исчерпаны, а автокорреляция имеет место, то можно предположить, что она обусловлена какими-то внутренними свойства-

ми ряда {et}. В этом случае можно воспользоваться авторегресси-

онным преобразованием. В линейной регрессионной модели либо в моделях, сводящихся к линейной, наиболее целесообразным и про-

стым преобразованием является авторегрессионная схема первого порядка AR(1).

Для простоты изложения AR(1) рассмотрим модель парной линейной регрессии:

Пусть случайные отклонения подвержены воздействию авторегрессии первого порядка:

εt = ρεt−1+νt ,

97

где νt , t =2, 3, ..., T — случайные отклонения, удовлетворяющие всем предпосылкам МНК, а коэффициент ρ известен. Вычтем из (4.8) соотношение (4.9), умноженное на ρ:

yt − ρyt−1 = β0 (1− ρ)+β1(xt − ρxt−1)+(εt − ρεt−1). (4.10)

Положив

yt = yt − ρyt−1, xt =(xt − ρxt−1), β0 = β0 (1− ρ), получим:

y*t = β0 +β1x*t +νt .

Так как по предположению коэффициент ρ известен, то очевидно, yt* , x*t , νt вычисляются достаточно просто. В силу того что случайные отклонения νt удовлетворяют предпосылкам МНК, оценки параметров β0 и β1 будут обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок.

Способ вычисления y*t , x*t приводит к потере первого наблю-

дения (если мы не обладаем предшествующим ему наблюдением). Число степеней свободы уменьшится на единицу, что при больших выборках не так существенно, но при малых может привести к потере эффективности. Эта проблема обычно преодолевается с по-

мощью поправки Прайса–Винстена:

x*1 =x1 1− ρ2 , y*1 = y1 1− ρ2 .

Отметим, что авторегрессионное преобразование может быть обобщено на произвольное число объясняющих переменных, т. е. использовано для уравнения множественной регрессии.

Авторегрессионное преобразование первого порядка АR(1) может быть обобщено на преобразования более высоких порядков

АR(2), АR(3) и т. д.:

εt = ρ1εt−1+ ρ2εt−2 +νt ,

εt = ρ1εt−1+ ρ2εt−2 + ρ3εt−3 +νt .

Можно показать, что в случае автокорреляции остатков ковариационная матрица вектора случайных отклонений имеет вид:

98

В обобщенном методе наименьших квадратов, если известны элементы матрицы Ω, параметры уравнения регрессии определяются по формуле Эйткена (A. C. Aitken):

вестно и его необходимо оценивать. Существует несколько методов оценивания. Приведем наиболее употребляемые.

Рассмотрим определение ρ на основе статистики Дарбина–

Уотсона.

Напомним, что статистика Дарбина–Уотсона тесно связана с коэффициентом корреляции между соседними отклонениями через соотношение:

DW ≈2(1−retet−1).

Тогда в качестве оценки коэффициента ρ может быть взят ко-

эффициент r =ret et−1 :

r ≈1- DW2 .

Этот метод оценивания весьма неплох при большом числе наблюдений. Вэтом случаеоценка r параметра ρ будет достаточноточной.

Метод Кохрана–Оркатта

Другим возможным методом оценивания ρ и устранения авто-

корреляции остатков является итеративный процесс, называемый методом Кохрана–Оркатта. Опишем данный метод на примере парной регрессии:

99

Y= β0 + β1 X +ε

иавторегрессионной схемы первого порядка εt = ρεt −1 +νt .

y*t = β*0 + β1 x*t +νt .

Коэффициенты β*0, β1 оцениваются по уравнению регрессии:

и процесс возвращается к этапу 2.

Чередование этапов осуществляется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность, т. е. пока разность между предыдущей и последующей оценками ρ не станет меньше любого на-

перед заданного числа.

Вернемся к примеру 4.1. Полагая, что остаток et линейно зависит от предыдущего значения остатка et-1, и оценивая коэффициент ρ, получим:

Таблица 4.3

Расчетная таблица

100

= 14 ×(−61,1128)−(−0,03 +1,104)×(−0,03 +1,3)≈ −0,821. 14 ×(76,34294 −1,69)−(−0,03 +1,3)2

При такой оценке ρ рассчитаем по приведенным выше формулам значения x*t , y*t .

Таблица 4.4

Расчетная таблица

101

коэффициента ρ. И значения β*0, β1 оцениваются из уравнения

регрессии ˆy*t =b*0 +b1x*t именно с данным значением ρ. Этот ме-

тод широко используется в пакетах прикладных программ.

Итак, подведем итог. В силу ряда причин (ошибок спецификации, инерционности рассматриваемых зависимостей и др.) в регрессионных моделях может иметь место корреляционная зависимость между соседними случайными отклонениями. Это нарушает одну из фундаментальных предпосылок МНК. Вследствие этого оценки, полученные на основе МНК, перестают быть эффективными. Это делает ненадежными выводы по значимости коэффициентов регрессии и по качеству самого уравнения. Поэтому достаточно важным является умение определить наличие автокорреляции и устранить это нежелательное явление. При установлении автокорреляции необходимо в первую очередь проанализировать правильность спецификации модели. Если после ряда возможных усовершенствований регрессии (уточнения состава объясняющих переменных либо изменения формы зависимости) автокорреляция по-прежнему имеет место, то, возможно, это связано с внутренни-

ми свойствами ряда отклонений {εt}. В этом случае возможны оп-

ределенные преобразования, устраняющие автокорреляцию. Среди них выделяется авторегрессионная схема первого порядка АR(1), которая, в принципе, может быть обобщена в АR(k), k = 2, 3, …. Для применения указанных схем необходимо оценить коэффициент корреляции между отклонениями. Это может быть сделано различными методами: на основе статистики Дарбина–Уотсона, Кохрана–Оркатта, Хилдрета–Лу и др. В случае наличия среди объясняющих переменных лаговой зависимой переменной наличие автокорреляции устанавливается с помощью h-статистики Дарбина. А для ее устранения в этом случае предпочтителен метод Хилд- рета–Лу.

Рассмотрим применение формулы Эйткена для авторегрессионной схемы первого порядка. В этом случае:

103