рассматриваемого периода, что в свою очередь может послужить причиной автокорреляции.

§ 2. Последствия автокорреляции

При применении МНК обычно выделяются следующие последствия автокорреляции:

1.Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными. Следовательно, они перестают обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок.

2.Дисперсии оценок являются смещенными. Часто дисперсии, вычисляемые по стандартным формулам, являются заниженными, что влечет за собой увеличение t-статистик. Это может привести к признанию статистически значимыми объясняющие переменные, которые в действительности таковыми могут и не являться.

щенной оценкой истинного значения σ2 , во многих случаях занижая его.

4. В силу вышесказанного выводы по t- и F-статистикам, определяющим значимость коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными. Вследствие этого ухудшаются прогнозные качества модели.

§ 3. Обнаружение автокорреляции. Критерий Дарбина–Уотсона

Истинные значения отклонений εt , t =1, 2, ..., T неизвестны.

Поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок et , t =1, 2, ..., T , полученных из эмпирического уравнения

регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.

Обычно проверяется некоррелированность отклонений et , t =1, 2, ..., T , являющаяся необходимым, но недостаточным условием независимости. Причем проверяется некоррелированность сосед-

91

них величин et. Соседними обычно считаются соседние во времени (при рассмотрении временных рядов) или по возрастанию объясняющей переменной X (в случае перекрестной выборки) значения et. Для них несложно рассчитать коэффициент корреляции, назы-

ваемый в этом случае коэффициентом автокорреляции первого

При этом учитывается, что математическое ожидание остатков

M (et )=0 .

На практике для анализа коррелированности отклонений вместо коэффициента корреляции используют тесно связанную с ним статистику Дарбина–Уотсона (DW), рассчитываемую по формуле:

Нетрудно заметить, что если et=et-1, то retet−1 =1 и DW=0 (положительная автокорреляция). Если et=-et-1, то retet−1 =-1 и DW=4 (от-

рицательная автокорреляция). Во всех других случаях 0≤DW ≤4 . При случайном поведении отклоненийretet−1 =0 и DW=2. Таким

образом, необходимым условием независимости случайных откло-

92

нений является близость к двойке значения статистики Дарбина– Уотсона. Тогда, если DW ≈2 , мы считаем отклонения от регрессии случайными (хотя они в действительности могут и не быть таковыми). Это означает, что построенная линейная регрессия, вероятно, отражает реальную зависимость. Скорее всего, не осталось неучтенных существенных факторов, влияющих на зависимую переменную. Какая-либо другая нелинейная формула не превосходит по статистическим характеристикам предложенную линейную модель. В этом случае, даже когда R2 невелико, вполне вероятно, что необъясненная дисперсия вызвана влиянием на зависимую переменную большого числа различных факторов, индивидуально слабо влияющих на исследуемую переменную, и может быть описана как случайная нормальная ошибка.

Возникает вопрос, какие значения DW можно считать статистически близкими к 2? Для ответа на этот вопрос разработаны специальные таблицы критических точек статистики Дарбина–Уотсона, позволяющие при данном числе наблюдений T (или в прежних обозначениях n), количестве объясняющих переменных m и заданном уровне значимости α определять границы приемлемости (критические точки) наблюдаемой статистики DW. Для заданных α, T , m

в таблице указываются два числа: dl — нижняя граница и du — верхняя граница.

Общая схема критерия Дарбина–Уотсона следующая:

1. По построенному эмпирическому уравнению регрессии

ˆyt =b0 +b1xt1+b2 xt 2+...+bm xtm

определяются значения отклонений et = yt −ˆyt для каждого на-

блюдения t, t =1, ..., T .

2.По формуле (4.4) рассчитывается статистика DW.

3.По таблице критических точек Дарбина–Уотсона определяются два числа dl и du и осуществляют выводы по правилу:

(0≤DW <d l ) — существует положительная автокорреляция,

(d l ≤DW <d u ) — вывод о наличии автокорреляции не определен, (d u ≤DW <4−d u ) — автокорреляция отсутствует,

93

(4−d u ≤DW <4−d l ) — вывод о наличии автокорреляции не определен,

(4−d l ≤DW ≤4) — существует отрицательная автокорреляция.

Не обращаясь к таблице критических точек Дарбина–Уотсона, можно пользоваться «грубым» правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1,5<DW <2,5 . Для более на-

дежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям. При наличии автокорреляции остатков полученное уравнение регрессии обычно считается неудовлетворительным.

Отметим, что при использовании критерия Дарбина–Уотсона необходимо учитывать следующие ограничения:

1.Критерий DW применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член.

2.Предполагается, что случайные отклонения εt определяются

по итерационной схеме: εt = ρεt−1+νt , называемой авторегрессионной схемой первого порядка AR(1). Здесь νt — случайный член, для которого условия Гаусса–Маркова выполняются.

3.Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (не должно быть пропусков в наблюдениях).

4.Критерий Дарбина–Уотсона не применим для регрессионных моделей, содержащих в составе объясняющих переменных зависимую переменную с временным лагом в один период, т. е. для так называемых авторегрессионных моделей вида:

В этом случае имеется систематическая связь между одной из объясняющих переменных и одним из компонентов случайного члена. Не выполняется одна из основных предпосылок МНК — объясняющие переменные не должны быть случайными (не иметь случайной составляющей). Значение любой объясняющей переменной должно быть экзогенным (заданным вне модели), полностью определенным. В противном случае оценки будут смещенными даже при больших объемах выборок.

94

Для авторегрессионных моделей разработаны специальные тесты обнаружения автокорреляции, в частности h-статистика Дарбина, которая определяется по формуле:

где ρˆ — оценка коэффициента ρ авторегрессии первого порядка εt = ρεt−1+νt ( νt — случайный член), D(g ) — выборочная дисперсия коэффициента γ при лаговой переменной yt−1 , n — число наблюдений.

При большом объеме выборки h распределяется как φ(0,1),

т. е. как нормальная переменная со средним значением 0 и дисперсией, равной 1 по нулевой гипотезе отсутствия автокорреляции. Следовательно, гипотеза отсутствия автокорреляции может быть отклонена при уровне значимости 5%, если абсолютное значение h больше, чем 1,96, и при уровне значимости 1%, если оно больше, чем 2,58, при применении двухстороннего критерия и большой выборке. В противном случае она не отклоняется.

Отметим, что обычно значение ρˆ рассчитывается по формуле: ˆρ=1−0,5DW , а D(g ) равна квадрату стандартной ошибки S g

оценки g коэффициента γ . Поэтому h легко вычисляется на основе данных оцененной регрессии.

Основная проблема при использовании этого теста заключается в невозможности вычисления h при nD(g)>1.

Пример 4.1. Пусть имеются следующие условные данные (X — объясняющая переменная, Y — зависимая переменная, табл. 4.1).

Таблица 4.1

Исходные данные (условные, ден. ед.)

ˆ

Линейное уравнение регрессии имеет вид: Y =2,09+2,014X .

95