Рівняння тренду, етапи визначення та обґрунтування найпридатнішого функціонального виду, суть параметрів
Якщо згладжування ряду динаміки не дає можливості виявити тенденцію розвитку або її характер, то відповідь на це питання можна напевне одержати за допомогою аналітичного вирівнювання заданого (вихідного) динамічного ряду методом найменших квадратів.
Метод аналітичного вирівнювання дає змогу не лише виявити тенденцію розвитку, а й кількісно виміряти її.
Під аналітичним вирівнюванням ряду динаміки у статистиці розуміють побудову функції Y = f(t), яка аналітично виражає залежність значень ознаки Y від часу t. Такі функції, а також їх графіки називають трендовими кривими. За допомогою трендової кривої завжди можна виявити основну тенденцію розвитку явища, що вивчається, а також її характер.
Процес побудови трендової кривої складається з двох етапів:
вибір виду функції f(t)
обчислення параметрів функції f(t).
Вид функції f(t) можна встановити візуально за кореляційним полем з урахуванням економічної (фізичної тощо) суті явища, що вивчається.
Кореляційне поле (див. рис. 8.4) являє собою координатну площину tOy із зображеними на ній точками з координатами (ti, yi).
Y
* * * * *
* * * * *
* * * *
* * * * *
* * * * *
* * * *
**
* *
0
t
Рис. 8.4. Кореляційне поле
На практиці при виборі виду тренду перевага звичайно віддається функціям, параметри яких мають чіткий економічний зміст:
лінійна – у = a + bt – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середній абсолютний приріст)
квадратична, або параболічна – y = a + bt + ct 2 – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середня початкова швидкість зростання, с – середній приріст швидкості зростання)
показникові – y = a·b t – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середній темп зростання).
Після вибору виду залежності її параметри обчислюються за методом найменших квадратів. Цей метод забезпечує такий вибір параметрів тренду, щоб мінімізувати суму квадратів відхилень фактичних значень рівнів ряду від теоретичних рівнів, що розраховані за відповідних значень t.
Найпростішою формулою, що відтворює тенденцію розвитку, є лінійна функція:
Параметри
та
згідно методу
найменших квадратів
знаходяться рішенням системи нормальних
рівнянь:
,
де y – фактичні рівні ряду
t – порядковий номер періоду або моменту часу.
Розв’язавши цю систему, отримуємо значення параметрів лінійної моделі:
,
,
де – середній рівень динамічного ряду.
Розрахунок параметрів значно спрощується, якщо за початок відліку часу (t = 0) обрати центральний інтервал. Із використанням спрощеного методу із введенням нумерації періодів часу від умовного нуля значення умовних періодів t залежать від того, парну чи непарну кількість рівнів має динамічний ряд.
Якщо у трендовій моделі використовуються нелінійні функції, то вони приводяться до лінійного вигляду за допомогою певних математичних перетворень. Так, степенева функція призводиться до лінійного вигляду за допомогою логарифмування, гіпербола – заміною змінної.