3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа

При больших значениях n формулу (3.1) использовать затруднительно. Поэтому возникает вопрос о замене её некоторой асимптотической формулой, т.е. приближенной, справедливой при больших п.

Теорема 3.1. Если вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность при большихп приближенно равна значению функции

, где при. (3.3)

Значения функции берутся из таблицы (прил.1), при этом функция  четная, т.е. .

Пример 3.5. Известно, что вероятность изготовления изделия первого сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что в партии из 25 изготовленных изделий будет 21 изделие первого сорта.

Вероятность такого события вычислим по локальной формуле Лапласа (3.3) при и. Имеем и

где значение функции Лапласа взято из Приложения1.

Формула Бернулли (3.1) приводит нас к другому результату

Отметим, что такое довольно значительное отличие в результатах объяс-няется очень просто – формула Бернулли дает нам точный результат, а формула Лапласа имеет приближенный характер и дает хорошие прибли-женные результаты только при достаточно больших значениях п .

Пример 3.6. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти веро-ятность того, что среди 100 новорожденных детей окажется ровно половина мальчиков.

Вероятность такого события вычисляем по формуле (3.3) при и. Имеем

где значение взято из таблицы значений функции.

Отметим, что в этом случае по формуле Бернулли (3.1) получаем уже достаточно близкий результат

3.3. Интегральная теорема Лапласа

Пусть производится п независимых испытаний. Как найти вероятность того, что событиеА появится в п испытаниях не менее раз и не болеераз? Формулойпользоваться не удобно. Ответ даёт

Теорема 3.2. Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность при большихп приближенно равна

,

где

Для приближенного вычисления данного интеграла

(функция Лапласа)

имеется таблица (прил. 2), при этом функция нечетная, т.е.

.

Тогда

. (3.4)

Замечание 3.2. Погрешность вычислений вероятностей по формулам (3.3) и (3.4) имеет порядок .

Пример 3.7. Вероятность того, что деталь прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 отобранных наудачу деталей окажется проверенных ОТК от 70 до 100.

По условию задачи и.

Вычислим значения и

Тогда по интегральной формуле Лапласа (3.4) получим

Пример 3.8. Установлено, что в среднем каждое третье малое пред-приятие района имеет нарушения финансовой дисциплины. Найти веро-ятность того, что среди 200 зарегистрированных в районе малых пред-приятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) не более 60; б) не менее 80.

По условию задачи вероятность того, что малое предприятие имеет нарушения финансовой дисциплины и.

а) Необходимо найти

Найдем

Тогда имеем

б) Необходимо найти

Найдем

Тогда по интегральной формуле Лапласа (3.4) получим