2.2. Теорема сложения вероятностей
Теорема 2.2. Для любых событий А и В справедлива формула
.
(2.4)
Из диаграммы событий легко получить равенства:
,
где
и
попарно
несовместные события. А В
Тогда, согласно
третьей аксиоме,
получаем
и
.
Если из последнего
равенства выразить
и подставить в первое, то получим
формулу (2.4).
Следствие. Если А и В несовместные события, то получаем третью аксиому.
Пример 2.3.
Вероятности попадания при двух выстрелах
соответственно равны
.
Найти вероятность поражения цели.
Вероятность
поражения цели представляет собой
событие
,
где событиеА
поражение цели при первом выстреле, а
событие В
поражение при втором выстреле.
Способ 1: По теореме сложения вероятностей получаем
Способ 2:
По формуле (2.3), используя противоположное
событие
,
получаем
.
Пример 2.4. Устройство содержит три независимо работающих эле-мента. Вероятности отказа элементов соответственно равны: 0,05 ; 0,06 ; 0,08 . Найти вероятности событий: а) откажет только один элемент; б) ни один элемент не откажет
а) Введём события: А - интересующее нас событие; В - отказал первый элемент; С - отказал второй элемент; D - отказал третий элемент.
Тогда
и, согласно теоремам об умножении и сложении вероятностей, получим
б) Здесь интересующее
нас событие
и тогда искомая вероятность равна
Пример 2.5. Три станка выпускают 200, 300 и 500 одинаковых деталей соответственно. Из партии обработанных деталей наудачу взяты две. Найти вероятность того, что обе детали обработаны на одном станке.
Введем события:
деталь обработана на первом станке,
деталь обработана
на втором станке,
деталь обработана
на третьем станке.
Найдем вероятности того, на каком станке обработаны детали,
Тогда интересующее
нас событие
и вероятность того, что обе детали
обработаны на одном станке
2.3. Формула полной вероятности
Пусть событие А
может наступить при условии появления
одного из событий
,
образующих полную группу событий. Будем
называть ихгипотезами.
Пусть известны вероятности гипотез:
и условные вероятности:
.
Тогда имеет место формула полной
вероятности
Теорема 2.3.
(2.5)
Представим событие А в виде
.
Так как события
попарно несовместны, т.е.
,
то и
.
Тогда по третьей аксиоме и теореме 2.1 умножения вероятностей получим
.
Пример 2.6. Три станка выпускают одинаковую продукцию. Первый ста-нок выпускает 20%, из них – 5% брака, второй 30% и 3% брака, третий 50% и 2% брака. Из общей партии берётся наудачу деталь. Какая веро-ятность того, что эта деталь бракована?
Пусть А интересующее нас событие, в качестве гипотез рассмотрим следующие события:
деталь изготовлена
на первом станке,
деталь изготовлена
на втором станке,
деталь изготовлена
на третьем станке,
Тогда по формуле (2.5) получим
Пример 2.7. В магазин поступили телефоны от трех поставщиков в отношении4 : 5 : 1.Практика показывает,что телефоны,поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков не потребуют ремонта в течении гарантийного срока в 88%, 98% и 92% случаев соответственно. Найти вероятность того, что проданный телефон не потребует ремонта в течение гарантий-ного срока.
Пусть событие
телефон поступил от i-го
поставщика. Найдем вероятности гипотез,
от какого поставщика поступил телефон,
Пусть В интересующее нас событие, вероятности появления кото-рого взависимостиотпоставщика по условию задачи равны:
Тогда по формуле (2.5) найдем искомую вероятность
