Математическая статистика

Введение. Предмет математической статистики

Выявление закономерностей, которым подчинены массовые случай-ные явления (процессы), основано на анализе статистических данных (результатов наблюдений). В практике статистических наблюдений разли-чают два вида наблюдений: сплошное, когда исследуются все элементы совокупности, и несплошное, выборочное, когда исследуется только определенная часть элементов. Например, перепись населения является сплошным наблюдением, а стандартные социологические обследования являются выборочными наблюдениями.

Вся подлежащая исследованию совокупность элементов (наблюдений) называется генеральной совокупностью, а часть элементов, которая ото-брана для непосредственного исследования из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Пусть генеральная совокупность состоит из N элементов, подлежащих исследованию относительно некоторой случайной величины X (размер, вес, брак и т.д.). Из этой совокупности берётся выборка объёма n и под-вергается сплошному исследованию, т.е. находятся значения исследу-емого признака всех элементов, входящих в выборку.

Таким образом, выборку можно рассматривать как некоторое подобие генеральной совокупности. Поэтому сущность выборочного метода иссле-дования случайных величин в математической статистике состоит в том, что о тех или иных свойствах генеральной совокупности делают выводы на основании исследования свойств элементов выборки.

Достоинства выборочного метода очевидны:

 во-первых, существенное сокращение времени исследования и соот-ветственно материальных затрат;

 во-вторых, при одинаковых затратах возможность проведения более глубокого исследования путем расширения объема исследования;

 и, наконец, в-третьих, только выборочный метод можно применять, если при исследовании каждого элемента генеральной совокупности этот элемент подлежит уничтожению (например, исследование долговечности электроприборов, крэш-тесты автомобилей и т.п.).

Главным недостатком выборочного метода являются ошибки репре-зентативности выборки. Выборку будем называть репрезентативной (пред-ставительской), если она достаточно хорошо отображает генеральную сово-купность. Однако эти неизбежные ошибки репрезентативности могут быть заранее оценены и при правильной организации выборки сведены к минимуму.

Итак, чтобы по данным выборки можно было достаточно достоверно судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случай-ным образом. Случайность такого отбора достигается при соблюдении на практике равной возможности для всех элементов генеральной сово-купности быть отобранными в выборку.

Различают следующие основные способы отбора:

 механический, когда элементы из генеральной совокупности выби-раются по порядку через некоторый интервал, например, каждый 20-й, 40-й, 60-й и т.д.;

 случайный, при котором элементы выбираются абсолютно случай-ным образом без распределения на группы (для этого существуют таб-лицы случайных чисел);

 серийный, при котором выбираются не отдельные элементы, а группы (серии) элементов генеральной совокупности.

Каждый из этих способов имеет как свои преимущества, так и свои недостатки. Например, при проведении exit-пола применяют механический способ отбора, поскольку нельзя применять серийный способ, так как обычно члены одной семьи приходят на избирательный участок одно-временно и голосуют одинаково, нельзя применить и случайный способ, так как неизвестно заранее число избирателей, которые придут на участок. С другой стороны, не всегда можно применять и механический способ отбора – может оказаться, что каждую 20-ю, 40-ю и т.д. деталь изготовил рабочий более низкого разряда или, например, после каждой 20-й, 40-й, 60-й детали проводится переналадка станка,т.е.уотобранных деталей больше вероятность оказаться бракованными.

Исходя из вышеизложенного, сформулируем основные задачи мате-матической статистики:

1. Задача определения закона распределения случайных величин по статистическим данным, т.е. приближенно найти функцию распределения случайной величины Х, которая приняла значения: .

2. Приближенно найти (оценить) параметры закона распределения, т.е. математическое ожидание, дисперсию и другие числовые характеристики случайной величины.

3. Проверить ту или иную статистическую гипотезу, высказанную отно-сительно закона распределения случайной величины. Например, что случай-ная величина имеет нормальное распределение.

4. По данным наблюдений случайных величин Х и Y оценить степень взаимосвязи между ними. Например, что между случайными величинами Х и Y имеется практически линейная связь.

Таким образом, можно определить математическую статистику как раздел математики, изучающий методы получения, описания и обработки закономерностей массовых случайных событий.