Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Высшая математика Николайчук / ТЕОРИЯ-ВЕРОЯТНОСТЕЙ-80-ОГЛ.doc
Скачиваний:
84
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
3.83 Mб
Скачать

X и y  независимые случайные величины.

8.2. Вероятность попадания двумерной случайной величины

в полуполосу и прямоугольник

Из определения функции распределения несложно найти вероятность попадания двумерной случайной величины в полуполосу и(рис.а) или в полуполосу и(рис.б).

Y Y

у

X

X

x

a б

Вычитая из вероятности попадания двумерной случайной величины в квадрант с вершинойвероятность попадания случайной величиныв квадрант с вершинойполучим (рис. а)

Аналогично для полуполосы (рис. б)

Поскольку прямоугольник можно представить как разность полуполос, то вероятность попадания двумерной СВв прямоугольник можно найти вычитанием из вероятностиY

попадания

двумерной СВв полуполосу

и вероятности

попадания

двумерной СВв полу-

полосу и.

X

Таким образом, имеем

Замечание 1. Если функция плотности непрерывна, то полу-ченная формула соответствует свойству2.

8.3. Числовые характеристики двумерной случайной величины

Числовые характеристики составляющих двумерной случайной вели-чины вводятся также как и для одномерной. Кроме рассмотренных числовых параметров вводятся и такие, которые характеризуют зависимость состав-ляющих X и Y.

Определение 8.4. Ковариацией двумерной случайной величины назы-вается

.

После простых преобразований можно получить

.

Очевидно, . По определению дисперсии для суммы слу-чайных величинX и Y имеем

.

Тогда для независимых случайных величин . Таким образом, если , то случайные величиныX и Y зависимы.

Для характеристики степени зависимости случайных величин X и Y используется безразмерный коэффициент корреляции

.

Отметим его основные свойства.

1. Если случайные величины X и Y независимы, то . Обратное, вообще говоря, неверно.

2. Если , гдеА и В  const, то .

Действительно, обозначим , тогда

и

После этого получаем

3. .

Замечание 2. Из определения и свойств коэффициента корреляции следует, что он оценивает линейную связь между случайными величинами X и Y. При этом:

1.  функциональная линейная связь.

2.  статистическая зависимость.

3.  линейная связь отсутствует.

Пример 8.2. Закон распределения двумерной случайной величины (X, Y) задан таблицей

Y X

3

10

12

4

0,17

0,13

0,25

5

0,1

0,3

0,05

Найти законы распределения составляющих компонент и их числовые характеристики.

Проводя суммирование по соответствующим строкам и столбцам, получаем

Y

4

5

Х

3

10

12

p

0,55

0,45

p

0,27

0,43

0,3

Вычислим числовые характеристики:

Найденный коэффициент корреляции мал, следовательно, случайные величины X и Y слабо зависимы.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.