- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей
- •1. Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •3. Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •4. Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Функция распределения вероятностей для непрерывной св.
- •4.4. Функция плотности распределения вероятностей
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •5.1. Математическое ожидание случайной величины
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Моменты и другие числовые характеристики случайной величины
- •6. Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •7. Закон больших чисел
- •7.1. Неравенства Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •8. Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные случайные величины и их функции распределения
- •X и y независимые случайные величины.
- •8.2. Вероятность попадания двумерной случайной величины
- •8.3. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Математическая статистика
- •1. Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Вариационный ряд
- •1.2. Полигон и гистограмма
- •1.3. Эмпирическая функция распределения
- •2. Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •2.3. Оценка вероятности появления события через его частоту
- •3. Проверка статистических гипотез.
- •3.1. Статистические гипотезы
- •3.2. Критерии проверки гипотезы
- •3.3. Критерий согласия Пирсона
- •3.4. Критерий согласия Романовского
- •4. Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Литература
- •С о д е р ж а н и е
Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины
Донецкий национальный технический университет
Улитин Г.М., Гончаров А.Н.
Теория вероятностей и математическая статистика
Для экономических специальностей
Учебно-методическое пособие
Донецк ДонНТУ 2012
УДК 519.2
ББК 22.171
У 48
Утверждено на заседании учебно-издательского совета ДонНТУ (протокол № 5 от 22.11.12)
Улитин Г.М., Гончаров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие (для студентов экономических специаль-ностей технических вузов). Донецк : ДонНТУ, 2012. – 80 с.
В учебном пособии системно и компактно изложены основные вопросы теории вероятностей и математической статистики. Краткость материала в пособии сочетается с вполне приемлемым уровнем строгости и полноты изложения.
Подача теоретического материала в пособии иллюстрируется решением достаточного количества примеров и задач. Для удобства решения задач в пособии приведены необходимые таблицы.
Рекомендуется для студентов экономических специальностей высших технических учебных заведений второго года обучения.
Рецензенты: Левин В.М., доктор техн. наук, профессор, зав.кафедрой высшей и прикладной математики и информатики ДонНАСА
Лесина М.Е., доктор физ.-мат. наук, профессор, кафедра высшей математики им. В.В.Пака ДонНТУ
Румянцев Н.В., доктор эконом. наук, профессор, зав. кафедрой экономической кибернетики ДонНТУ
Донецкий национальный технический университет
Улитин Г.М., Гончаров А.Н.
Теория вероятностей
1. Общие понятия
1.1. Предмет теории вероятностей
До возникновения теории вероятностей объектом исследования науки были явления и опыты, в которых условия практически однозначно определяли исход. Исследователь выделял основные факторы, характе-ризующие изучаемое явление, а влияние остальных, которые считал второстепенными, не учитывал. Так выявлялась основная закономер-ность, присущая исследуемому явлению (процессу), которая позволяла проникнуть при таких условиях в определенную сущность явления и практически однозначно предсказать конечный результат по заданным условиям. Такой подход к исследованию принято называть детерми-нистским.
Однако для многих задач практики это обстоит несколько иначе. В природных, технических и экономических процессах практически всегда присутствуют элементы случайности. Поэтому в таких процессах (явлениях) необходимо помимо основных факторов учитывать множество остальных (второстепенных) причин, приводящих к отклонениям от ожидаемых результатов. Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку количество их достаточно велико и законы их действия заранее неизвестны. Поэтому предсказать результат единичного события в этом случае невозможно.
Однако, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий, то практика показывает, что в массе таких случайных событий обнаруживаются вполне определённые закономерности. Например, если много раз бросать монету, то частота появления герба (отношение числа появившихся гербов к общему числу бросаний) приближается к числу 0,5. Это означает, что при достаточно большом числе наблюдений случайные воздействия в определенной степени нивелируются, и итоговый результат практически становится не вполне случайным, т.е. предсказуемым.
Например, из ежедневных сообщений в новостях о регулярно изме-няющейся вверх-вниз текущей стоимости унции золота нельзя сделать достаточно достоверный прогноз о стоимости золота завтра, послезавтра или даже через неделю. Однако многолетние наблюдения за изменением стоимости золота позволяют сделать долгосрочный прогноз: 1) стоимость золота растет с каждым годом; 2) в течение года стоимость золота растет весной и перед Новым годом. Таким образом, можно сделать практический вывод, что покупка золота это, во-первых, долгосрочная инвестиция, а, во-вторых, если уж решили покупать золото, то выгоднее делать покупку в начале нового года или в начале лета.
Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей массовых однородных случайных событий. Найденные закономерности имеют не только теоретическое значение, они широко применяются на практике: в планировании, организации и управлении производством, конт-роле качества продукции, в прогнозировании текущих (профилактичес-ких) ремонтов технических средств, в теории измерений и для многих других целей.