1.4. Статистический подход к понятию вероятности

Пусть осуществляется п опытов (испытаний), в результате которых может либо произойти, либо не произойти событие А. Тогда частотой события А называют число

,

где  число появлений события А в п опытах.

Из определения частоты следуют её основные свойства:

1. , так как;

2.

3.

Итак, каждому событию А мы поставили в соответствие его числовую характеристику – его частоту. Но понятие частоты не удобно по двум причинам:

1. Частота изменяется при изменении числа опытов.

2. Частота зависит от самой серии опытов, т.е. если серию опытов повторить, то частота может быть другой.

В тоже время длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты и число их велико, то частота обладает свойством устойчивости. Это означает, что в опытах частота изменяется тем меньше, чем больше произведено испытаний. Подтверждением этого явля-ются исторические примеры:

Число испытаний Число появлений герба Частота

Бюффон 4040 2048 0,5080

Пирсон 24000 12012 0,5005

Вывод. Статистический подход к понятию вероятности состоит в том, что рассматриваемому случайному событию, обладающему свойством статистической устойчивости при большом числе испытаний, можно придать числовую характеристику, которая незначительно отличается от частоты. Это число называется статистической вероятностью.

В рассмотренном примере, очевидно, что в качестве статистической вероятности можно взять число 0,5.

Еще один пример,  как известно, статистическая вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки – 0,49.

1.5. Элементы комбинаторики

Для изучения дальнейшего материала нам понадобятся некоторые понятия из комбинаторики:

1. Перестановки.

Пусть дано множество M, состоящее из n элементов. Если переставлять эти элементы всевозможными способами, сохраняя их количество, то получим последовательности, каждую из которых называют перестановкой из n элементов.

Число перестановок из n элементов .

Пример 1.12. Сколько различных пятизначных чисел можно соста-вить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 ?

По формуле для числа перестановок находим количество всевозмож-ных пятизначных чисел

Более общим является случай, когда множество из п элементов раз-бито на k групп одинаковых элементов, причем в каждой i-той группе содержится элементов. В этом случае число раз-личных перестановокп элементов (с повторениями элементов данных групп) вычисляется по формуле

Пример 1.13. Сколько различных десятизначных чисел можно соста-вить из множества цифр ?

По формуле для перестановок с повторениями находим количество раз-

личных десятизначных чисел

2. Сочетания.

Всякое подмножество, содержащее k элементов данного множества М, состоящего из n элементов, называется сочетанием из n элементов по k.

Число сочетаний .

Пример 1.14. Сколькими способами можно выбрать трех студентов из группы в 11 студентов?

По формуле для числа сочетаний находим количество возможных

способов выбора