
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей
- •1. Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •3. Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •4. Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Функция распределения вероятностей для непрерывной св.
- •4.4. Функция плотности распределения вероятностей
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •5.1. Математическое ожидание случайной величины
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Моменты и другие числовые характеристики случайной величины
- •6. Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •7. Закон больших чисел
- •7.1. Неравенства Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •8. Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные случайные величины и их функции распределения
- •X и y независимые случайные величины.
- •8.2. Вероятность попадания двумерной случайной величины
- •8.3. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Математическая статистика
- •1. Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Вариационный ряд
- •1.2. Полигон и гистограмма
- •1.3. Эмпирическая функция распределения
- •2. Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •2.3. Оценка вероятности появления события через его частоту
- •3. Проверка статистических гипотез.
- •3.1. Статистические гипотезы
- •3.2. Критерии проверки гипотезы
- •3.3. Критерий согласия Пирсона
- •3.4. Критерий согласия Романовского
- •4. Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Литература
- •С о д е р ж а н и е
1.7. Аксиоматическое определение вероятности
Аксиоматический подход основывается на основных свойствах вероятности, подмеченных на примерах классического определения и частоты.
Пусть Е
- пространство элементарных событий, а
класс событий (набор подмножеств
множества E).
Будем считать, что в результате любых
введенных выше операций над событиями,
вновь получаются события этого же
класса.
Пример 1.23.
Опыт состоит из подбрасывания игральной
кости один раз. Здесь
.
Выпишем все события, которые образуют
.
Тогда
.
Замечание.
Число подмножеств множества из N
элементов с учетом Е
и
равно
.
Например, в рассмотренном выше примере
число таких подмножеств равно
.
Определение
1.24. Числовая
функция Р,
определяемая на классе собы-тий
,
называется вероятностью, если выполнены
следующие аксиомы:
1.
;
2.
;
3.
Если
несовместные события, то
.
Из этого определения следуют свойства:
1.
.
Действительно,
так как
и, с учетом аксиом2
и ,
получаем
.
2.
.
Действительно,
так как
,
то с учетом свойства1
и аксиомы 2,
получаем
.
3.
Если
образуют полную группу событий, т.е.
,
то
.
Это следует из аксиом 23.
4.
.
Это следует из свойства 3 и аксиомы 1.
2. Основные теоремы теории вероятностей
2.1. Теорема умножения вероятностей
Определение 2.1. Условной вероятностью события B при условии, что событие A произошло, называется вероятность, определяемая формулой
.
(2.1)
Это можно легко показать для случая классического определения веро-ятности. Будем считать, что формула справедлива в общем случае и про-иллюстрируем её на примере.
Пример 2.1.
В урне 3 белых и 3 синих шара. Из урны
вынут один шар, затем второй. Рассмотрим
два события: A
– первым вынут белый шар, В
– вторым вынут синий, тогда АВ
– вынуты по очереди белый и синий шары.
Найдем вероятности:.
Подста-вив эти вероятности в формулу
(2.1), убеждаемся, что она справедлива.
Определение 2.2.
Если
и
,
то такие события называютсянезависимыми.
Теорема 2.1. Для любых событий А и В справедлива формула
(2.2)
Это следует из формулы (2.1).
Следствие 1.
Для независимых событий
.
Следствие 2.
Если обозначить
и
,
то вероят-ность появленияхотя
бы одного из событий,
независимых в совокуп-ности, равна
.
(2.3)
Рассмотрим событие
,
состоящее в том, что ни одного из событий
не наступило. Тогда по следствию1
из определения веро-ятности 1.24
получим
.
Пример 2.2. Студент в сессию сдает четыре экзамена с вероятностью успеха 0,8, 0,7, 0,9 и 0,75соответственно. Найти вероятность того,что студент: а) сдаст все четыре экзамена; б) сдаст хотя бы один экзамен.
а) Если обозначить
через
событие – студент сдаетi-й
экзамен, то событие (студент сдаст все
4
экзамена) можно выразить следующим
образом
а искомая вероятность будет равна
б) Здесь мы
воспользуемся формулой (2.3), вычислив
вероятность про-тивоположного события
(студент не сдаст ни одного экза-мена).
Тогда искомая вероятность