- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей
- •1. Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •3. Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •4. Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Функция распределения вероятностей для непрерывной св.
- •4.4. Функция плотности распределения вероятностей
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •5.1. Математическое ожидание случайной величины
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Моменты и другие числовые характеристики случайной величины
- •6. Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •7. Закон больших чисел
- •7.1. Неравенства Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •8. Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные случайные величины и их функции распределения
- •X и y независимые случайные величины.
- •8.2. Вероятность попадания двумерной случайной величины
- •8.3. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Математическая статистика
- •1. Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Вариационный ряд
- •1.2. Полигон и гистограмма
- •1.3. Эмпирическая функция распределения
- •2. Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •2.3. Оценка вероятности появления события через его частоту
- •3. Проверка статистических гипотез.
- •3.1. Статистические гипотезы
- •3.2. Критерии проверки гипотезы
- •3.3. Критерий согласия Пирсона
- •3.4. Критерий согласия Романовского
- •4. Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Литература
- •С о д е р ж а н и е
1.7. Аксиоматическое определение вероятности
Аксиоматический подход основывается на основных свойствах вероятности, подмеченных на примерах классического определения и частоты.
Пусть Е - пространство элементарных событий, а класс событий (набор подмножеств множества E). Будем считать, что в результате любых введенных выше операций над событиями, вновь получаются события этого же класса.
Пример 1.23. Опыт состоит из подбрасывания игральной кости один раз. Здесь . Выпишем все события, которые образуют. Тогда.
Замечание. Число подмножеств множества из N элементов с учетом Е и равно. Например, в рассмотренном выше примере число таких подмножеств равно.
Определение 1.24. Числовая функция Р, определяемая на классе собы-тий , называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:
1. ;
2. ;
3. Если несовместные события, то
.
Из этого определения следуют свойства:
1. .
Действительно, так как и, с учетом аксиом2 и , получаем .
2. .
Действительно, так как , то с учетом свойства1 и аксиомы 2, получаем .
3. Если образуют полную группу событий, т.е., то.
Это следует из аксиом 23.
4. .
Это следует из свойства 3 и аксиомы 1.
2. Основные теоремы теории вероятностей
2.1. Теорема умножения вероятностей
Определение 2.1. Условной вероятностью события B при условии, что событие A произошло, называется вероятность, определяемая формулой
. (2.1)
Это можно легко показать для случая классического определения веро-ятности. Будем считать, что формула справедлива в общем случае и про-иллюстрируем её на примере.
Пример 2.1. В урне 3 белых и 3 синих шара. Из урны вынут один шар, затем второй. Рассмотрим два события: A – первым вынут белый шар, В – вторым вынут синий, тогда АВ – вынуты по очереди белый и синий шары. Найдем вероятности:. Подста-вив эти вероятности в формулу (2.1), убеждаемся, что она справедлива.
Определение 2.2. Если и, то такие события называютсянезависимыми.
Теорема 2.1. Для любых событий А и В справедлива формула
(2.2)
Это следует из формулы (2.1).
Следствие 1. Для независимых событий .
Следствие 2. Если обозначить и, то вероят-ность появленияхотя бы одного из событий, независимых в совокуп-ности, равна
. (2.3)
Рассмотрим событие , состоящее в том, что ни одного из событийне наступило. Тогда по следствию1 из определения веро-ятности 1.24 получим
.
Пример 2.2. Студент в сессию сдает четыре экзамена с вероятностью успеха 0,8, 0,7, 0,9 и 0,75соответственно. Найти вероятность того,что студент: а) сдаст все четыре экзамена; б) сдаст хотя бы один экзамен.
а) Если обозначить через событие – студент сдаетi-й экзамен, то событие (студент сдаст все 4 экзамена) можно выразить следующим образом а искомая вероятность будет равна
б) Здесь мы воспользуемся формулой (2.3), вычислив вероятность про-тивоположного события (студент не сдаст ни одного экза-мена). Тогда искомая вероятность