- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей
- •1. Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •3. Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •4. Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Функция распределения вероятностей для непрерывной св.
- •4.4. Функция плотности распределения вероятностей
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •5.1. Математическое ожидание случайной величины
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Моменты и другие числовые характеристики случайной величины
- •6. Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •7. Закон больших чисел
- •7.1. Неравенства Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •8. Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные случайные величины и их функции распределения
- •X и y независимые случайные величины.
- •8.2. Вероятность попадания двумерной случайной величины
- •8.3. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Математическая статистика
- •1. Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Вариационный ряд
- •1.2. Полигон и гистограмма
- •1.3. Эмпирическая функция распределения
- •2. Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •2.3. Оценка вероятности появления события через его частоту
- •3. Проверка статистических гипотез.
- •3.1. Статистические гипотезы
- •3.2. Критерии проверки гипотезы
- •3.3. Критерий согласия Пирсона
- •3.4. Критерий согласия Романовского
- •4. Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Литература
- •С о д е р ж а н и е
1.2. Пространство элементарных событий
Теория вероятностей, также как и другие разделы математики, изучает не явления окружающего мира, а их математические модели. В математических моделях случайных событий вероятность рассматривается как функция случайного события. Поэтому в начале определим понятие случайного события.
Определение 1.1, Множество Е назовём пространством элементарных событий, определяемых результатами данного опыта. Элементы этого множества назовём элементарными событиями.
Эти понятия являются первоначальными. Ввиду большого разнообразия случайных событий нельзя дать более конкретного определения. Рассмотрим ряд примеров, поясняющих выбор множества Е.
Пример 1.1. Опыт состоит в бросании монеты один раз. Возможными исходами при этом будут – выпадение герба или цифры. Тогда , где выпал герб, выпала цифра.
Пример 1.2. Брошена игральная кость. Здесь выпало “i” очков.
Пример 1.3. Работа телефонной станции. Нас интересует число поступивших вызовов в течение суток. Тогда событие, состоящее в “i 1” вызовах в течение суток.
Пример 1.4. Нас интересуют траектории частиц при броуновском движении. Здесь , где непрерывные функции времени t.
Определение 1.2. Случайным событием или просто событием называется любое подмножество множества Е.
Введём операции над событиями, совпадающие с операциями над множествами.
1.3. Операции над событиями
Определение 1.3. Если всякий раз, когда происходит событие А в данном опыте происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой событие В и пишут .
Проиллюстрируем это понятие на схематичном рисунке.
Пример1.5. При бросании игральной
кости рассмотрим два события:
1. А выпадение четырёх очков; А В
2. В выпадение четного числа очков.
Тогда , т.е. событиеА влечет E
за собой событие В.
Если же и, то.
Определение1.4. Суммой двух событий
А и В называется событие А B
или , состоящее
в появлении по крайней мере A + B
одного из событий А или В. E
Определение 1.5. Произведением двух событий А и В называется событие или, состоящее в одновременном появлении событийА и В.
Пример 1.6. Опыт состоит в подбра-
сывании двух монет:
А выпадение герба на первой монете; А В
В выпадение герба на второй монете.
Тогда выпадение хотя бы E
одного герба, выпадение двух гербов одновременно.
Определение 1.6. Разностью двух событий А и В называется событие или, состоящее в появлении событияА без события В.
Пример 1.7. Брошена игральная кость.
Рассмотрим два события:А В
А выпадение четного числа очков;
В выпадение двух очков.
Тогда событие выпадение E
четырёх или шести очков.
Определение 1.7. Событие Е называется достоверным событием, т.е. это такое событие, которое в результате опыта непременно произойдёт.
Определение 1.8. Пустое множество называется невозможным собы-тием, т.е. это событие, которое в данном опыте не может произойти.
Определение 1.9. Событие
называется событием, противоположным
событию А. Событие означает,А
что событие А не произошло.
E
Определение 1.10. События А и В называются несовместными событиями, если . Это означает, что наступление событияА исключает появление события В.
При этом.
Пример 1.8. Брошена монета.
Рассмотрим два события: А В
А появление герба;
В появление цифры. E
Очевидно, что А и В несовместные события.
Определение 1.11. События образуют полную группу событий, если:
1. Они попарно несовместны, т.е. ;
2. .
Пример 1.9. Брошена игральная кость. Тогда события появление “i” очков образуют полную группу событий.
Пример 1.10. .
Пример 1.11. Лауреаты музыкального конкурса награждаются: грамотой (событие А), денежной премией (событие В), призом (событие С). Что пред-ставляют собой события: а) АВ ; б) АС ; в) АВС ; г) А + В ; д) АС В.
а) Событие АВ заключается в награждении лауреата одновременно грамотой и денежной премией.
б) Событие АС заключается в награждении лауреата одновременно грамотой и призом.
в) Событие АВС заключается в награждении лауреата одновременно грамотой, денежной премией и призом.
г) Событие А + В заключается в награждении лауреата грамотой или денежной премией, или одновременно и грамотой, и денежной премией.
д) Событие АС В заключается в награждении лауреата одновременно грамотой и призом, но без денежной премии.