6. Основные законы распределения случайных величин

6.1. Законы распределения дискретных случайных величин

6.1.1. Биномиальное распределение

Определение 6.1. Биномиальным называется распределение вероятнос-тей, определяемое формулой Бернулли в виде таблицы

X	0	1	…	k	…	п
p			…		…

где Х  количество появлений события А в п повторных испытаниях, если вероятность его появления в каждом из испытаний не изменяется и равна р. Пусть  число появлений события A в i-ом испытании, т.е.

	0	1
p	q	p

тогда и

Аналогично можно показать, что .

Пример 6.1. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0,9. В каждой партии 5 изделий. Найти , гдеX  число партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.

Вначале определим вероятность того, что в каждой партии окажется ровно 4 стандартных изделия

Тогда

6.1.2. Распределение Пуассона

Пусть в схеме Бернулли производится n опытов, в которых вероятность появления события А мала, а n велико и .

Определение 6.2. Случайная величина X распределена по закону Пуассона, если вероятностьтого, чтоона примет определённое значение k,

выражается формулой Пуассона , т.е. закон распределения имеет вид

X	0	1	…	k	…
p			…		…

Тогда .

Аналогично можно показать, что .

Таким образом, характерным свойством для распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии

Пример 6.2. Автозавод отгрузил автомобилей. Вероятность повреждения автомобиля при транспортировке. Определить веро-ятность того, что автомагазин получит повреждённых автомобилей.

Вначале определим математическое ожидание .

Тогда, непосредственно вычисляя, или по таблице (прил. 3) находим

Пример 6.3. Устройство состоит из элементов. Вероятность отказа каждого элемента за времяТ равна Определить веро-ятность того, что за времяТ откажет более одного элемента.

Вначале определим математическое ожидание .

Тогда по таблице (прил. 4)

6.1.3. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а, значит, вероятность непоявления события А равна . Испытания заканчиваются в момент появления событияА. Следовательно, если событие А появи-лось в k-ом испытании, то в предыдущихk  1 испытаниях оно не появля-

лось, т.е. описываемое событие имеет вид .

Отсюда получим

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испы-таний, которые необходимо провести до появления события А. Тогда случайная величина Х может принимать только значения 1, 2, 3, …

Определение 6.3. Случайная величина X распределена по геометри-ческому закону, если вероятностьтого, чтоона примет определённое значение k, выражается формулой , т.е. закон распре-деления имеет вид

X	1	2	3	…	k	…
p	p			…		…

Нетрудно убедиться, что сумма всех вероятностей, как сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, равна

Тогда

Аналогично можно показать, что .

Пример 6.4. Студент может сдать экзамен по высшей математике с вероятностью 0,6. Определить вероятность того, что:

а) студент сдаст экзамен с третьей попытки;

б) студент сдаст экзамен за три попытки.

Имеем и вероятность того, что студент сдаст экзамен с третьей попытки

Вероятность того, что студент сдаст экзамен за три попытки