- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей
- •1. Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •3. Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •4. Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Функция распределения вероятностей для непрерывной св.
- •4.4. Функция плотности распределения вероятностей
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •5.1. Математическое ожидание случайной величины
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Моменты и другие числовые характеристики случайной величины
- •6. Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •7. Закон больших чисел
- •7.1. Неравенства Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •8. Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные случайные величины и их функции распределения
- •X и y независимые случайные величины.
- •8.2. Вероятность попадания двумерной случайной величины
- •8.3. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Математическая статистика
- •1. Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Вариационный ряд
- •1.2. Полигон и гистограмма
- •1.3. Эмпирическая функция распределения
- •2. Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •2.3. Оценка вероятности появления события через его частоту
- •3. Проверка статистических гипотез.
- •3.1. Статистические гипотезы
- •3.2. Критерии проверки гипотезы
- •3.3. Критерий согласия Пирсона
- •3.4. Критерий согласия Романовского
- •4. Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Литература
- •С о д е р ж а н и е
6. Основные законы распределения случайных величин
6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
6.1.1. Биномиальное распределение
Определение 6.1. Биномиальным называется распределение вероятнос-тей, определяемое формулой Бернулли в виде таблицы
X |
0 |
1 |
… |
k |
… |
п |
p |
… |
|
… |
где Х количество появлений события А в п повторных испытаниях, если вероятность его появления в каждом из испытаний не изменяется и равна р. Пусть число появлений события A в i-ом испытании, т.е.
-
0
1
p
q
p
тогда и
Аналогично можно показать, что .
Пример 6.1. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0,9. В каждой партии 5 изделий. Найти , гдеX число партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.
Вначале определим вероятность того, что в каждой партии окажется ровно 4 стандартных изделия
Тогда
6.1.2. Распределение Пуассона
Пусть в схеме Бернулли производится n опытов, в которых вероятность появления события А мала, а n велико и .
Определение 6.2. Случайная величина X распределена по закону Пуассона, если вероятностьтого, чтоона примет определённое значение k,
выражается формулой Пуассона , т.е. закон распределения имеет вид
-
X
0
1
…
k
…
p
…
…
Тогда .
Аналогично можно показать, что .
Таким образом, характерным свойством для распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии
Пример 6.2. Автозавод отгрузил автомобилей. Вероятность повреждения автомобиля при транспортировке. Определить веро-ятность того, что автомагазин получит повреждённых автомобилей.
Вначале определим математическое ожидание .
Тогда, непосредственно вычисляя, или по таблице (прил. 3) находим
Пример 6.3. Устройство состоит из элементов. Вероятность отказа каждого элемента за времяТ равна Определить веро-ятность того, что за времяТ откажет более одного элемента.
Вначале определим математическое ожидание .
Тогда по таблице (прил. 4)
6.1.3. Геометрическое распределение
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а, значит, вероятность непоявления события А равна . Испытания заканчиваются в момент появления событияА. Следовательно, если событие А появи-лось в k-ом испытании, то в предыдущихk 1 испытаниях оно не появля-
лось, т.е. описываемое событие имеет вид .
Отсюда получим
Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испы-таний, которые необходимо провести до появления события А. Тогда случайная величина Х может принимать только значения 1, 2, 3, …
Определение 6.3. Случайная величина X распределена по геометри-ческому закону, если вероятностьтого, чтоона примет определённое значение k, выражается формулой , т.е. закон распре-деления имеет вид
-
X
1
2
3
…
k
…
p
p
…
…
Нетрудно убедиться, что сумма всех вероятностей, как сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, равна
Тогда
Аналогично можно показать, что .
Пример 6.4. Студент может сдать экзамен по высшей математике с вероятностью 0,6. Определить вероятность того, что:
а) студент сдаст экзамен с третьей попытки;
б) студент сдаст экзамен за три попытки.
Имеем и вероятность того, что студент сдаст экзамен с третьей попытки
Вероятность того, что студент сдаст экзамен за три попытки