- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей
- •1. Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •3. Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •4. Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Функция распределения вероятностей для непрерывной св.
- •4.4. Функция плотности распределения вероятностей
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •5.1. Математическое ожидание случайной величины
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Моменты и другие числовые характеристики случайной величины
- •6. Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •7. Закон больших чисел
- •7.1. Неравенства Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •8. Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные случайные величины и их функции распределения
- •X и y независимые случайные величины.
- •8.2. Вероятность попадания двумерной случайной величины
- •8.3. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Математическая статистика
- •1. Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Вариационный ряд
- •1.2. Полигон и гистограмма
- •1.3. Эмпирическая функция распределения
- •2. Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •2.3. Оценка вероятности появления события через его частоту
- •3. Проверка статистических гипотез.
- •3.1. Статистические гипотезы
- •3.2. Критерии проверки гипотезы
- •3.3. Критерий согласия Пирсона
- •3.4. Критерий согласия Романовского
- •4. Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Литература
- •С о д е р ж а н и е
4.3. Функция распределения вероятностей для непрерывной св.
Функция распределения вероятностей (интегральная) непрерывной СВ определяется аналогично как и для дискретной . В этом случаеявляется непрерывной функцией и обладает свойствами1-4. Однако, если непрерывная, то вероятность любого определённого значения непрерывной случайной величины равна нулю, так как
Пример 4.3. Найти параметр а функции распределения и веро-ятность попадания случайной величины в интервал, если
Вначале найдём значение параметра а из условия непрерывности функции распределения при:
или
Тогда функция распределения будет иметь следующий вид
Далее по свойству 4 найдем искомую вероятность
4.4. Функция плотности распределения вероятностей
для непрерывной СВ.
Для локальной характеристики непрерывной случайной величины вво-дится понятие плотности распределения вероятностей.
Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распре-деления . Вычислим вероятность попадания этой случайной величины в интервал. По свойству4 функции распределения, получаем .
Рассмотрим отношение , т.е. “среднюю“ вероятность и устремим
.
Определение 4.3. Плотностью распределения вероятностей или диффе-ренциальной функцией распределения называется функция .
Из этого определения следуют её свойства:
1. , как производная от неубывающей функции.
2. Вероятность попадания СВ в интервал равна
так как вероятность попадания СВ в интервал длины
3. , так как
4. , что следует из свойства3 и того, что
Пример 4.4. Найти функцию распределения по заданной функции плотностии вероятность попадания случайной величины в интервал
, если
Вначале найдём значение параметра а по свойству 4 функции плот-ности
или
а по свойству 3 находим функцию распределения
Вероятность попадания в заданный интервал можно определить по формулам из свойства 4 функции распределения или из свойства 2 функции плотности .
Воспользуемся первой формулой
.
Приведём графики функций и.
3
1
0 1 х 0 1 х
5. Числовые характеристики случайных величин
5.1. Математическое ожидание случайной величины
Часто на практике закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться неполными сведениями о СВ. Тогда полезно использовать некоторые параметры, которые суммарно описывают СВ. Такие параметры называются числовыми характеристиками. К их числу, в частности, относится математическое ожидание.
5.1.1. Рассмотрим случай дискретной СВ.
X |
… | |||
p |
… |
|
Обозначим её среднее значение через М(Х), тогда
,
так как .
Определение 5.1. Математическим ожиданием дискретной случайной ве-личины называется значение
. (5.1)
Замечание. Если число возможных значений дискретной случайной величины бесконечно, то
,
при условии сходимости ряда.
Из определения математического ожидания следуют его свойства:
1. Если .
2. Если .
3. .
Действительно, рассмотрим две СВ с законами распределения
X |
… | ||
p |
… |
Y |
… | ||
q |
… |
Тогда случайная величина принимает возможные значения с вероятностьюи тогда
.
4. Если Х и Y независимые СВ, то .
Так как , то
.
Следствие. .
Пример 5.1. Найти математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Пусть Х и Y СВ выпадения очков на двух костях соответственно:
X |
1 |
… |
6 |
p |
… |
|
Y |
1 |
… |
6 |
p |
… |
|
Тогда
.
5.1.2. Для непрерывной случайной величины выражение пред-ставляет собой среднее значение этой случайной величины на интервале длинойи тогда её среднее значение
. (5.2)
Математическое ожидание непрерывной случайной величины имеет те же свойства, что и для дискретной случайной величины.
Пример 5.2. Найти математическое ожидание и функцию распре-деления случайной величиныХ с заданной плотностью распределения
По формуле (5.2) находим математическое ожидание: