4.3. Функция распределения вероятностей для непрерывной св.

Функция распределения вероятностей (интегральная) непрерывной СВ определяется аналогично как и для дискретной . В этом случаеявляется непрерывной функцией и обладает свойствами1-4. Однако, если непрерывная, то вероятность любого определённого значения непрерывной случайной величины равна нулю, так как

Пример 4.3. Найти параметр а функции распределения и веро-ятность попадания случайной величины в интервал, если

Вначале найдём значение параметра а из условия непрерывности функции распределения при:

или

Тогда функция распределения будет иметь следующий вид

Далее по свойству 4 найдем искомую вероятность

4.4. Функция плотности распределения вероятностей

для непрерывной СВ.

Для локальной характеристики непрерывной случайной величины вво-дится понятие плотности распределения вероятностей.

Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распре-деления . Вычислим вероятность попадания этой случайной величины в интервал. По свойству4 функции распределения, получаем .

Рассмотрим отношение , т.е. “среднюю“ вероятность и устремим

.

Определение 4.3. Плотностью распределения вероятностей или диффе-ренциальной функцией распределения называется функция .

Из этого определения следуют её свойства:

1. , как производная от неубывающей функции.

2. Вероятность попадания СВ в интервал равна

так как  вероятность попадания СВ в интервал длины

3. , так как

4. , что следует из свойства3 и того, что

Пример 4.4. Найти функцию распределения по заданной функции плотностии вероятность попадания случайной величины в интервал

, если

Вначале найдём значение параметра а по свойству 4 функции плот-ности

или

а по свойству 3 находим функцию распределения

Вероятность попадания в заданный интервал можно определить по формулам из свойства 4 функции распределения или из свойства 2 функции плотности .

Воспользуемся первой формулой

.

Приведём графики функций и.

3

1

0 1 х 0 1 х

5. Числовые характеристики случайных величин

5.1. Математическое ожидание случайной величины

Часто на практике закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться неполными сведениями о СВ. Тогда полезно использовать некоторые параметры, которые суммарно описывают СВ. Такие параметры называются числовыми характеристиками. К их числу, в частности, относится математическое ожидание.

5.1.1. Рассмотрим случай дискретной СВ.

X			…
p			…

Обозначим её среднее значение через М(Х), тогда

,

так как .

Определение 5.1. Математическим ожиданием дискретной случайной ве-личины называется значение

. (5.1)

Замечание. Если число возможных значений дискретной случайной величины бесконечно, то

,

при условии сходимости ряда.

Из определения математического ожидания следуют его свойства:

1. Если .

2. Если .

3. .

Действительно, рассмотрим две СВ с законами распределения

X			…
p			…

Y			…
q			…

Тогда случайная величина  принимает возможные значения с вероятностьюи тогда

.

4. Если Х и Y  независимые СВ, то .

Так как , то

.

Следствие. .

Пример 5.1. Найти математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Пусть Х и Y  СВ выпадения очков на двух костях соответственно:

X	1	…	6
p		…

Y	1	…	6
p		…

Тогда

.

5.1.2. Для непрерывной случайной величины выражение пред-ставляет собой среднее значение этой случайной величины на интервале длинойи тогда её среднее значение

. (5.2)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины имеет те же свойства, что и для дискретной случайной величины.

Пример 5.2. Найти математическое ожидание и функцию распре-деления случайной величиныХ с заданной плотностью распределения

По формуле (5.2) находим математическое ожидание: