3. Размещения.

Всякое упорядоченное подмножество, содержащее k элементов данного множестваМ из n элементов, называется размещением из n элементов по k.

Число размещений .

Пример 1.15. Сколько различных трехзначных чисел можно соста-вить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 ?

Поформуледляразмещений находим количество всевозможных трех-

значных чисел

Замечание. Часто при решении задач число п достаточно велико, поэтому в таких случаях полезно использовать формулу Стирлинга

4. Основные правила комбинаторики.

Правило суммы. Если некоторый объект можно выбратьп разными способами,а объект можно выбратьт разными способами, причем никакой выбор не совпадает ни с каким выбором, то один из объектовилиможно выбратьспособами.

Пример 1.16. На двух полках находится 35 и 40 книг соответственно. Сколькими способами можно выбрать одну книгу ?

По правилу суммы находим число всех возможных способов выбора

Правило произведения. Если некоторый объект можно выбратьп разными способами и при каждом выборе объекта объектможно выбратьт разными способами, то выбор пары объектов можно осуществитьспособами.

Пример 1.17. В группе 20 студентов, из них 8 юношей и 12 девушек. Сколькими способами можно выбрать одного юношу и одну девушку для участия в конкурсе?

Каждый из п = 8 вариантов выбора юноши может комбинироваться с одним из т = 12 вариантов выбора девушки, поэтому по правилу произведения число способов выбора пары равно

Пример 1.18. В группе 20 студентов, из них 8 юношей и 12 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух юношей и трех девушек для участия в конкурсе?

Каждый из вариантов выбора двух юношей может комбинироваться с одним извариантов выбора девушки, поэтому по правилу произведения

число способов выбора равно

1.6. Классическое определение вероятности

Это определение относится только к тем опытам, у которых возможно конечное число равновозможных исходов. Исходы являются равновозмож-ными, если нет оснований считать, что ни один из них будет более воз-можным, чем другие. Например, если брошена игральная кость, то исходы: выпало одно очко, - два очка, …, - шесть очков – являются равно-возможными.

Определение 1.12. Вероятностью события А называется число , гдеn  число всех исходов опыта, а т  число исходов, благоприятных появлению события А.

Из определения следуют основные свойства вероятности:

1. , так как;

2. , так как в этом случае;

3. , так как в этом случае.

Пример 1.19. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет в сумме три очка.

Пусть А  интересующее нас событие. Благоприятные исходы: (1 , 2) и (2, 1), т.е. . Число общих исходов определяем из того, что каждое число очков на одной кости может сочетаться с шестью вариантами числа

очков на другой кости, т.е. . Тогда.

Пример 1.20. Абонент забыл последние три цифры семизначного номера телефона и, помня, что они различные, набрал их наугад. Найти вероятность того, что он набрал правильный номер.

Пусть А - интересующее нас событие. Очевидно, что . Число различных вариантов набора трёх различных цифр из десяти будет равно

Тогда .

Пример 1.21. Некий гражданин купил карточку лото и наугад отметил 6 номеров из 49. Найти вероятность того, что он правильно угадал k номеров из 6 .

Пусть А  интересующее нас событие. Общее число исходов . Число угаданных , каждый из этих вариантов может сочетаться с одним изнепра-вильных вариантов.

Тогда

.

откуда следует, что вероятность минимального выигрыша в лото при будет равна.

Пример 1.22. Магазин продал 16 из 20 кухонных комбайнов трех марок, имеющихся в продаже в количестве 4, 7 и 9 штук соответственно. Полагая, что вероятность быть проданным для каждого комбайна одинакова, найти вероятности того, что остались непроданными кухонные комбайны: а) только одной марки; б) всех трех марок.

а) Если осталось непроданных 4 кухонных комбайна из 20 (событие А), то число вариантов, при которых это событие может произойти равно

Число вариантов, при которых останутся непроданными все 4 кухонных комбайна первой марки, равно число вариантов, при которых останутся непроданными4 комбайна второй марки, равно и, наконец, число вариантов, при которых останутся непроданными 4 комбайна третьей марки, равно

Тогда для события А по правилу суммы общее число вариантов

и искомая вероятность равна

б) В случае, если останутся непроданными кухонные комбайны всех трех марок (событие В), то это может произойти тремя способами: ку-хонных комбайнов одной из марок останется 2, а комбайнов остальных двух марок по одному.

Таким образом, если останется 2 комбайна первой марки, то по правилу произведения количество интересующих нас вариантов равно

если останется 2 комбайна второй марки, то по правилу произведения количество интересующих нас вариантов равно

и, наконец, если останется 2 комбайна третьей марки, то по правилу произведения количество интересующих нас вариантов равно

Общее количество вариантов, при которых произойдет событие В,

и искомая вероятность равна