7.2. Теорема Чебышева

Теорема 3. Если  независимые случайные величины, имеющие конечные дисперсии, т.е. , то

Рассмотрим новую случайную величину и применим к ней неравенство Чебышева

.

Переходя к пределу при и, учитывая, что, получаем теорему Чебышева.

Следствия:

1. Теорема Бернулли. Если  число наступлений события А в п независимых испытаниях, а р  вероятность появления события А, то

Пусть  число появления события A в одном испытании, т.е.

	0	1
p	q	p

Тогда и

Подставляя в неравенство Чебышева соответствующие значения, полу-чаем теорему Бернулли.

2. Если для последовательности независимых случайных величин вы-полняется равенство , то

Доказательство следует из теоремы Чебышева.

Этот частный случай даёт основание правилу среднего арифмети-ческого, употребляемого в теории измерений, т.е. если результаты изме-рений: , то искомая величина.

Следовательно, увеличивая количество измерений, мы будем получать более надежный результат.

Пример 3. Дисперсия каждой из попарно независимых случайных величин не превышает 10. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического 16000 этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превосходит 0,25.

По условию

Тогда по теореме Чебышева С = 10 и искомая вероятность

8. Многомерные случайные величины

8.1. Многомерные случайные величины и их функции распределения

Определение 8.1. Многомерной случайной величиной называется вектор, координаты (элементы) которого являются случайными величинами, т.е. .

Например, координаты точки попадания при выстреле – двумерная случайная величина; станок производит детали длиной X, внутренним диаметром Y, внешним диаметром Z  трёхмерная случайная величина (X, Y, Z).

Ограничимся случаем двумерной случайной величины (X, Y). Законом распределения дискретной двумерной случайной величины является перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Его удобно задавать в виде таблицы

Y X			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Здесь .

Аналогично, как и в случае одномерной случайной величины, обо-значим через  множество элементарных событий, для которых одновременно выполняются неравенства и.

Определение 8.2. Функцией распределения двумерной случайной вели-чины называется функция .

Геометрически функция распределенияпредставляет собой вероятность попадания случайной величины (X, Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (х, у).

у

(х, у)

х

Из определения функции распределения следуют ее свойства.

1.

2.  неубывающая функция.

3.

4. , где и функции распределения случайных величин X и Y соответственно.

5.

Рассмотрим предел

.

Можно показать, что этот предел равен  плот-ности распределения двумерной случайной величины.

Свойства плотности распределения:

1. , так какнеубывающая функция.

2. Вероятность попадания случайной величины (X, Y) в область D равна

так как  вероятность попадания в прямоугольник пло-щадью .

3. , что следует из определения.

4. , что следует из свойства3 и того, что

5.

Определение 8.3. Случайные величины X и Y называются независи-мыми, если выполняется равенство

или

Пример 8.1. Определить являются зависимыми или независимыми случайные величины X, Y и найти вероятность их попадания в квадрат , если

.

Имеем