4. Случайные величины и функции распределения

4.1. Случайные величины

Определение 4.1. Случайной величиной (СВ) называется величина Х, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестно какое, т.е. , гдее  элементарное событие.

Случайные величины бывают двух типов:

1. Дискретные – если возможные значения случайных величин (значе-ния, которые она принимает) могут быть перечислены. Например, число отсутствующих на лекции студентов, количество попаданий в мишень при п выстрелах, число вызовов на АТС и т.д.

2. Непрерывные – если возможные значения случайных величин непре-рывно заполняют некоторый промежуток. Например, время ожидания го-родского транспорта, расстояние от точки попадания до центра мишени, время безотказной работы блока устройства.

Для того, чтобы задать случайную величину, необходимо знать её воз-можные значения и как часто она их принимает, т.е. с какой вероятностью. Для дискретных случайных величин закон распределения обычно зада-ется таблицей следующего вида

X			…		…
p			…		…

Замечание. Так как события образуют полную группу событий, то.

Рассмотрим примеры наиболее распространённых дискретных СВ.

1. Биномиальное распределение.

X	0	1	…	k	…	n
p			…		…

2. Распределение Пуассона.

X	0	1	…	n	…
p			…		…

Пример 4.1. Монета брошена три раза. Построить закон распределения случайной величины Х – число появлений герба.

Здесь . По формуле Бернулли вычислим соответст-вующие вероятности:

Проверим .

Получили закон распределения

X	0	1	2	3
p

4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св

Для количественной характеристики распределения вероятностей удобно пользоваться не вероятностью события , а вероятностью события.

Определение 4.2. Функция называется функцией распределения вероятностей случайной величиныХ или интегральной функцией распределения.

Геометрически это означает, что  вероятность того, что случай-ная величина Х примет значение, лежащее левее х на числовой оси.

Пример 4.2. Построить функцию распределения вероятностей для примера1.

1. , для таких значений.

2. , для таких значений.

3. , для таких значений.

4. , для таких значений.

5. , для таких значений.

1

0,5

0 1 2 3 4 х

Из определения функции распределения следуют её свойства:

1.

2.  неубывающая функция.

3. .

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заклю-ченное в интервале , равна.

Рассмотрим события , тогда, так какА и С несовместные события. Отсюда , а учитывая, что, то тогда.

5. имеет разрывы первого рода во всех точках, соответству-ющих возможным значениям СВ, а величина скачка равна

.