ТОИИТ / Задания
.pdf301
Линейность. Она следует из скалярного произведения (16.2):
W[αS1(t) +βS2 (t)] = αW[S1] +βW[S2 ] = αW1(a,b) +βW2 (a,b) .
Инвариантность относительно сдвига:
W[S(t −b0 )] =W[a,b −b0 ] .
Инвариантность относительно изменения масштаба:
1 |
|
a |
|
b |
|
|
|
W [S(t a0 )]= |
|
W |
|
, |
|
|
, |
a |
a |
a |
|||||
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
т. е. растяжение (сжатие) масштаба сигнала приводит также к растяжению (сжатию) его в плоскости W (a,b) .
Дифференцирование:
∞
W[dtm S] = (−1)m ∫ S(t)dtm[ψab (t)]dt ,
−∞
где dtm = d m[...]/ dtm , m ≥1. Из этого свойства следует, что проиг-
норировать, например, крупномасштабные составляющие и проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала S (t) можно дифференцированием нужного
числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Если учесть, что часто сигнал задан цифровым рядом, а анализирующий вейвлет-фор- мулой, то это свойство весьма полезное.
Масштабно-временная локализация. Она обусловлена тем, что элементы базиса ВП хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном.
За счет изменения масштаба (увеличение a приводит к сужению фурье-спектра функции ψab (t) ) вейвлеты способны выявлять
различие в характеристиках на разных шкалах (частотах), а за счет сдвига анализировать свойства сигнала в разных точках на всем исследуемом интервале. Поэтому при анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности вейвлетов получают существенное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает только глобальные сведения о частотах (масштабах) анализируемого сигнала, так как используемая при этом система функций (комплексная экспонента или синусы и косинусы) определена на бесконечном интервале.
303
Глобальный спектр энергии. Он характеризует распределение энергии по масштабам a
Эw (a) = ∫W (a,b) 2 db = ∫Эw (a,b)db .
Этот спектр называют также скалограммой (scalogram).
Мера локальной перемежаемости:
Iw (a,t) = Эw (a,t) / Эw (a,t)
– это мера локальных отклонений от среднего поля спектра на каждом масштабе. Угловыми скобками здесь обозначено усреднение.
Мера Iw (a, t) позволяет определить степень неравномерности распределения энергии по масштабам. Равенство Iw (a, t) =1 при
всех a и t означает равномерность распределения энергии, т. е. все локальные спектры энергии одинаковы.
Мера контрастности:
|
Эw (a, t) |
, Э'w (a, t) = |
a′=a |
|
Cw (a,t) = |
∫ Эw (a′, t)da′ . |
|||
' |
||||
|
Эw (a, t) |
|
a′ |
Она позволяет определить даже самые малые изменения в сигнале, если необходимо, например, выявить слабые вариации на фоне крупной структуры.
СОПОСТАВЛЕНИЕ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ФУРЬЕ
Классическое преобразование Фурье (ПФ) является традиционным математическим аппаратом для анализа стационарных процессов. При этом сигналы разлагаются в базисе косинусов и синусов или комплексных экспонент. Эти базисные функции простираются вдоль всей оси времени.
С практической точки зрения и с позиций точного представления произвольных сигналов ПФ имеет ряд ограничений и недостатков. Обладая хорошей локализацией по частоте, оно не обладает временным разрешением. ПФ даже для одной заданной частоты требует знания сигнала не только в прошлом, но и в будущем, а это является теоретической абстракцией. Обусловлено это тем, что базисной функцией при разложении в ряд Фурье является гармоническое колебание, которое математически определено на вре-
307
б) построить несколько сечений спектра Ws (a, b) для различных
(характерных) значений a и b , т. е. Ws (a1`, b) , Ws (a2 , b) , Ws (a, b1) , Ws (a, b2 ) ; проанализировать результаты;
в) изменяя параметры сигнала (амплитуды, периоды и задержки гармоник), проанализируйте их влияние на форму его вейвлетспектра.
16.3.2. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СМЕСИ СИГНАЛА И ШУМА
Исследуемый сигнал x(t) представляет собой аддитивную смесь
x(t) = S(t) + n(t) |
|||
детерминированного сигнала |
S (t) и белого нормального шума |
||
n(t) , описываемого плотностью вероятности |
|||
w(u) = |
1 |
exp(u2 / 2). |
|
2πσ |
|||
|
|
Сигнал S (t) берется по указанию преподавателя из табл. 16.2. Исходные значения параметров шума и сигнала: σ = 0.5 В и U = 5 В,
T =100 , |
τ = 50 , t0 =10 , σ1 = 5 , α = 0.1, U1 =U2 = 2 В, T1 = 50 , |
T2 =10 , |
t01 = t02 = 0 , k = 0.1. |
Требуется: |
а) дискретизировать сигнал x(t) и представить его графически,
аргумент t должен иметь ровно N = 2n0 элементов ( n0 – целое, например, 8);
б) определить коэффициенты cm,k на основе встроенного пря-
мого ВП ( wave(x) ) и представить графически семейства этих ко-
эффициентов; в) исследовать влияние параметров сигнала и шума на структу-
ру семейств коэффициентов cm,k ;
г) осуществить синтез сигнала x%(t) на основе встроенного обратного ВП ( iwave(w) ) ;
д) принять wj = 0 для j := 2L..N −1 и исследовать влияние па-
раметра L на форму синтезируемого сигнала и сглаживание (и подавление) шума.
308 |
|
ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.2 |
|
Вари- |
Название сигнала |
Аналитическое выражение, S (t) |
|
|||||||||||
ант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Отрезок синусоиды |
U sin[2π(t − t0 ) /T ] , t0 ≤ t ≤ t0 + τ |
|
|||||||||||
1 |
Прямоугольный импульс |
U , |
t0 ≤ t ≤ t0 + τ |
|
|
|
|
|||||||
2 |
Колокольный импульс |
U exp −(t −t |
0 |
)2 / 2σ 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
3 |
Треугольный импульс |
(2U / τ)(t −t0 ), t0 ≤ t ≤ t0 + τ/ 2, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2U / τ)(−t + t0 + τ),t0 + τ/ 2 ≤ t ≤ t0 + τ |
|
||||||||||
4 |
Пилообразный импульс |
(U / τ)(t − t0 ), |
t0 ≤ t ≤ t0 + τ |
|
||||||||||
5 |
Экспоненциальный им- |
U exp[−α(t − t0 )] , |
t > to |
|
||||||||||
|
пульс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Пара |
знакопеременных |
U , |
t |
0 |
≤ t ≤ t |
0 |
+ τ, |
|
|
|
|||
|
прямоугольных импуль- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
+ τ ≤ t ≤ t |
|
+ 2τ |
|
||||||
|
сов |
|
−U , t |
0 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
Сумма двух гармоничес- |
U1 sin[2π(t − t01) /T1] + |
|
|
||||||||||
|
ких сигналов |
+ U2 sin[2π(t − t02 ) /T2 ] |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
8 |
Два |
последовательно |
U1 sin[2π(t − t0 ) /T1] , t0 ≤ t ≤ t0 + τ , |
|
||||||||||
|
включенных отрезка си- |
U2 sin[2π(t − t0 − τ) /T2 ] , t0 + τ ≤ t ≤ t0 + 2τ |
|
|||||||||||
|
нусоиды |
|
||||||||||||
9 |
ЛЧМ-импульс |
U sin[(2π/T )(1+ kt)t] |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛИТЕРАТУРА
*.1. Воробьев В. И., Грибушин В. Г. Теория и практика вейвлет-преобра- зования. –СПб.: Изд-во ВУС, 1999. – 208 с.
*.2. Новиков Л. В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учеб. пособие– СПб.:
Изд-во 000 “МОДУС”. 1999. – 152 с.
*.3. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков. – СПб.: Изд-во СПбГТУ. 1999. – 132 с.
*.4. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. – Москва; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001. – 464 с.
*.5. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. –М.: Высшая школа, 2000. Глава 2, раздел 2.6. “Вейвлет-анализ”. – С.65–68.
*.6. Бердышев В. И., Петрак Л. В. Аппроксимация функций. Сжатие численной информации. Приложения. – Екатеринбург, 1999. Глава 1, раздел 12. “Вспле-
ски”. – С.127-150.
*.7. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: АФЦ, 1999. Глава 7. “Введение в теорию всплесков”, С.244-296.
*.8. Чуи Т. К. Введение в вейвлеты. – М.: Мир, 2001. – 412 с.
*.9. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MATLAB. Обработка сигналов и изо-
бражений. Специальный справочник. – СПб.: Питер. 2002. – 608 с.
309
*.10. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения
// Успехи физических наук, – 1998. – Т.166. – № 11. – С. 1145-1170.
*.11. Будников Е. Ю., Кукоев И. Ф., Максимов А. В. Вейвлет- и фурье-анализ электрических флуктуаций в полупроводниковых и электрохимических системах // Измерительная техника. – 1999. – № 11. – С.40-44.
*.12. Гречихин В. А., Евтихиева О. А., Есин М. В., Ринкевичус Б. С. Примене-
ние вейвлет-анализа моделей сигналов в лазерной доплеровской анемометрии //
Автометрия. – 2000. – № 4. – С. 51-58.
*.13. Дольников В. А., Стрелков Н. А. Оптимальные вейвлеты // Изв. Тульского гос. ун-та, серия математика, механика, информатика. – 1997. – т.4. – № 5 –
С.62-66.
*.14. Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их использова-
ние // Успехи физических наук, 2001. – Т.171. – № 5. – С.465-501.
*.15. Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Практическое применение вейвлет-анализа // Наука производству, 2000.– № 6. – С.13-15.
*.16. Желудев В. А. О цифровой обработке сигналов при помощи сплайн-вейв-
летов и вейвлет-пакетов // ДАН, 1997, Т. 356. – № 5. – С. 592-596.
*.17. Захаров В.Г. Разработка и применение методов вейвлет-анализа к нелинейным гидродинамическим системам. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.– Пермь, 1997. – 84 с.
*.18. Иванова Т. И., Шишенков В. А. Вейвлет-спектр – новый инструмент для диагностики / Сб. матер. Межд. научно-техн. конф. “Новые материалы и технологии на рубеже веков”. – Пенза, 2000. – Ч.2. – С.187-189.
*.19. Кобелев В. Ю. Поиск оптимальных вейвлетов для сжатия цифровых сигналов / Сб. тез. Докл. Научно-техню конф. “Современные проблемы естествознания. Физика”. – Ярославль, 1999. – С.38-39.
*.20. Кноте Карстен. Разработка и исследование быстрых параметрически перестраиваемых ортогональных преобразований в базисах “wavelet”-функций. Автореф. дисс. на соискание ученой степени канд. техн. наук. – СПб., 2000.– 16 с.
*.21. Кравченко. В. Ф., Рвачев В. А. “Wavelet”-системы и их применение в обработке сигналоа // Зарубежная радиоэлектроника. – 1996. – № 4. – С.3-20.
*.22. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Сравнительное изучение двух вейвлетныхбазисов// Проблемыпередачиинформации. – 2000, Т. 36. – вып. 2. – С.27-37.
*.23. Малоземов В. Н., Певный А. Б., Третьяков А. А. Быстрое вейвлетное пре-
образование дискретных периодических сигналов и изображений // Проблемы передачи информации. – 1998. – Т. 34. – Вып. 2. – С.77-85.
*.24. Новиков Л. В. Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов // Науч-
ное приборостроение. – 2000. – Т.10. – № 3. – С. 70-76.
*.25. Новиков Л. В. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов // Научное приборо-
строение. – 1999. – Т.9. – № 2. – с. 30-37.
*.26. Осоков Г. А., Шитов А. Б. Применение вейвлет-анализа для обработки дискретных сигналов гауссовой формы / Сообщ. Объед. Ин-та ядерных иссл.,
Дубна. – 1997. – 22 с. Р-11-97-347.
*.27. Перепелица Н. И., Козьмин В. А. Системы анализа-синтеза на основе вейвлет-преобразования / 6-я Межд. научно-техн. конф. “Радиолокация, навига-
ция, связь”. – Воронеж. – 2000. – Т.1. – С. 157-163.
*.28. Стаховский И. Р. Вейвлетный анализ временных сейсмических рядов //
ДАН. – 1996. – Т. 350. – № 3. – С. 393-396.
*.29. Стрелков Н. А. Универсально оптимальные всплески // Математический сборник. – 1997. – Т, 188. – № 1. – С.147-160.
*.30. Умняшкин С. В. Компрессия цифровых изображений на основе кодирования древовидных структрур вейвлет-коэффициентов с прогнозированием статистических моделей // Известия вузов. Электроника. – 2001. – № 5. – С, 86-94.