Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТОИИТ / Задания

.pdf
Скачиваний:
92
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
9.82 Mб
Скачать

281

В качестве исходного при синтезе двухполюсников обычно используют входное сопротивление

Z (p)=

 

a pn + a

pn1

+... + a p + a

 

 

n

n1

 

 

1

 

0

=

b

pm + b

 

pm1 +... + b p + b

 

 

 

 

 

 

 

m

m1

 

1

 

0

 

=

a0 (p z1 )(p z2 )...(p zn )

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

b

 

(p p )(p

p

)...(p p

m

)

 

0

 

1

 

2

 

 

 

 

Если задана функция Z ( p) , то она может быть реализована пас-

сивной цепью при выполнении следующих условий: 1) все коэффициенты многочленов числителя и знаменателя вещественны и положительны; 2) все нули и полюсы находятся либо в левой полуплоскости, либо на мнимой оси, причем полюсы и нули на мнимой оси простые; данные точки всегда либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары; 3) высшие и низшие степени многочленов числителя и знаменателя отличаются не более чем на единицу. Следует отметить также, что процедура синтеза не является однозначной, т. е. одну и ту же входную функцию можно реализовать несколькими способами.

В качестве исходных структур синтезируемых двухполюсников обычно используют цепи Фостера, представляющие собой последовательное либо параллельное соединение относительно входных зажимов соответственно нескольких комплексных сопротивлений и проводимостей, а также лестничных цепей Кауэра [2].

Метод синтеза двухполюсников основан на том, что заданная входная функция Z (p) или Y (p) подвергается ряду последова-

тельных упрощений. При этом на каждом этапе выделяется выражение, которому ставят в соответствие физический элемент синтезируемой цепи. Если все компоненты выбранной структуры идентифицированы с физическими элементами, то задача синтеза решена.

Синтез четырехполюсников базируется на теории фильтровпрототипов нижних частот [2]. Возможные варианты прототипа ФНЧ показаны на рис. 15.1.

При расчете может быть использована любая из схем, так как их характеристики идентичны. Обозначения на рис. 15.1 имеют сле-

дующий смысл: qk =1,n – индуктивность Lkпоследовательной ка-

тушки или емкость Сkпараллельного конденсатора; q0 – сопротивление генератора R0, если q1 = Ck, или проводимость генерато-

ра G0,

если q1 = L1; qn+1 – сопротивление нагрузки Rn+1 , если

qn = Cn

или проводимость нагрузки Gn+1 , если qn = Ln.

282 ГЛАВА 15. ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙ

L2=g2

 

Ln=gn

 

R0=g0

C3=g3

Gn+1=gn+1

Rn+1=gn+1

C1=g1

Cn=gn

 

 

 

а

 

L1=g1 L3=g3

Ln=gn

 

G0=g0

 

Rn+1=gn+1

Gn+1=gn+1

C2=g2

Cn=gn

 

б

Рис. 15.1

Величины элементов прототипов нормируют так, чтобы q0 =1 и частота среза ω1′ =1 . Переход от нормированных фильтров-

прототипов к другому уровню сопротивлений и частот осуществляется с помощью следующих преобразований элементов цепи:

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

R =

 

 

 

 

 

0

R'

или G =

 

0

G' ;

 

R'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

R

 

 

ω'

 

'

G'

 

 

ω'

 

'

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

L =

 

 

 

 

 

 

 

L

=

 

 

 

 

 

 

 

L

;

 

 

 

'

 

ω

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R'

 

 

ω'

 

 

G

 

 

 

ω'

 

 

 

C =

 

 

0

 

 

 

1

C' =

 

0

 

 

 

1

C' .

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

'

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

Величины со штрихами относятся к нормированному прототипу, а без штриха – к преобразованной цепи. Исходной величиной при синтезе является рабочее затухание мощности, выраженное в децибелах:

LA (ω' )=10 lg х[Pm / Pвых(ω)] , дБ,

Pm = Eвх2 / 4R0 – максимальная мощность генератора с внутренним сопротивлением R0 и ЭДС Eвх , Pвых (ω) – выходная мощность в нагрузке.

283

Обычно частотную зависимость LA (ω' ) аппроксимируют максимально плоской (баттервортовской) характеристикой (рис. 15.2, а)

LA (ω' )=10 lg[1 + ε(ω′/ ω1)2n ] , дБ,

где ε =10(LAr /10) 1.

Lа, дБ

Lа, дБ

Lar

 

 

Lar

 

 

0

ω′1

ω′

0

ω′1

ω′

 

а

 

б

 

 

 

 

 

Lа, дБ

 

 

Lа, дБ

 

 

 

 

 

 

 

Lar

 

 

Lar

 

 

0 ω1

ω0

ω2 ω

0

ω1

ω

 

в

 

 

г

 

Рис. 15.2

Величину рабочего затухания LAr , соответствующую частоте

среза ω1' , обычно выбирают равной 3 дБ. При этом ε =1 . Параметр

n равен числу активных элементов цепи и определяет порядок фильтра.

Величины элементов максимально плоских фильтров, нагруженных на активное сопротивление на входе и выходе и имеющих

LAr = 3 дБ, q0 =1 и ω1' =1 , определяют из выражений

284 ГЛАВА 15. ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙ

q0 = qn+1 =1 ;

 

(2k 1)π

, k =1, 2,..., n .

qk = 2sin

2n

 

 

 

 

Широкое распространение получила также равнопульсирующая аппроксимация Чебышева (см. рис. 15.2, б)

 

A (

'

)

 

 

2

 

'

 

 

 

L

 

+ εT

 

ω

 

 

,

ω

=10lg 1

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

где Tn (x)= cos (narccos (x)) – полином Чебышева n-го порядка для x 1 , T0 (x)=1, T1 (x)= x , T2 (x)= 2x2 1, T3 (x)= 4x3 3x и т. д.,

Tn (x)= ch (narch (x)) для x >1 ; x = ω′/ ω1.

Полиномы n-го порядка могут быть найдены с помощью рекуррентного соотношения. Основное преимущество чебышевских фильтров по сравнению с максимально плоскими (Баттерворта) – меньшее число элементов, требующееся для обеспечения одинакового затухания на заданной частоте вне полосы пропускания.

Для чебышевских фильтров, нагруженных с двух сторон и

имеющих характеристики вида рис. 15.2, б при условии, что ω' =1 и q0 =1 , а LAr задано в децибелах, величины элементов могут

быть рассчитаны следующим образом. Сначала определяются вспомогательные параметры по формулам:

 

 

 

 

L

Ar

 

γ = sh(β/ 2n);

β = ln cth

 

 

 

;

17.37

 

 

 

 

 

 

 

 

(2k −1)π

,

k =1, 2,..., n ,

αk = sin

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

= γ2 + sin2

kπ

 

,

k =1, 2,..., n ,

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

затем находят величины элементов

q1 = 2 γa1 ;

285

q

=

4ak 1ak

,

k =1, 2,..., n ;

 

k

 

bk 1qk 1

 

 

 

 

 

1,

если n нечетное,

qn+1 =

 

 

 

 

cth2

(β/ 4),

если n четное.

 

 

 

 

 

С помощью прототипа ФНЧ можно рассчитать полоснопропускающие фильтры (ППФ), структуры которых показаны на рис. 15.3.

 

L2

C2

Ln

Cn n – четн. n – нечетн.

 

R0

L1

L3

 

Gn+1 Ln

Rn+1

 

C1

C3

 

Cn

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

n –четн.

n – нечетн.

L1

C1

L3

C3

 

Ln

Cn

R0

L2

C2

Ln

Cn

Rn+1

Gn+1

 

 

 

 

 

б

Рис. 15.3

Переход от структур прототипов ФНЧ рис. 15.1, а, б к соответствующим ППФ рис. 15.3, а, б выполняют с помощью частотного преобразования

ω' =

ω'

 

ω

 

ω

 

1

 

 

0

.

ω0

 

W

 

 

ω

 

Полосу пропускания и ее среднюю частоту определяют из выражений

W =

ω2

− ω1

; ω = ω ω .

 

 

 

 

0

1

2

 

ω0

 

 

286 ГЛАВА 15. ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙ

Параметры последовательных и параллельных резонаторов рассчитывают по формулам

 

ω C =

 

1

=

 

ω1' qi

– для параллельных резонаторов;

 

ω L

WR

 

0

i

 

 

 

 

 

 

0

i

 

0

 

ω L =

1

 

 

 

=

ω1' qk R0

– для последовательных резонаторов.

ω C

 

 

0

k

k

 

 

W

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

В этих выражениях qi – значения параметров элементов прототипа, а частоты ω1 , ω0 , ω2 показаны на характеристике ППФ (см.

рис. 15.2, в).

Переход от прототипа ФНЧ к структуре фильтра верхних частот (ФВЧ) (рис. 15.4) происходит с помощью частотного преобразования

 

 

'

ω1' ω1

 

 

 

 

 

ω = −

ω

,

 

 

здесь ω1 – частота среза (см. рис. 15.2, г).

 

 

 

C1

C3

n – четн.

n – нечетное

 

 

 

 

Cn

 

R0

L2

L4

 

Ln

Rn+1

Rn+1

 

 

 

 

Рис. 15.4

При этом расчет параметров элементов ФВЧ производится по формулам:

Ci =

 

1

 

 

 

;

ω' ω q R

 

 

1

1

i

0

 

 

L =

 

1

 

R

;

ω' ω q

 

k

k

0

 

 

1

1

 

 

 

Rn+1 = R0 qn+1 .q0

p2 + 4

287

15.3.ЗАДАЧИ

15.3.1. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

1. Осуществите реализацию двухполюсника по Фостеру в виде последовательного соединения элементов по заданной функции входного сопротивления

Z (p)= p4 +10 p2 + 9 . p3 + 4 p

2. Реализуйте функцию Z (p) предыдущей задачи по второй форме Фостера в виде параллельного соединения проводимостей.

3.Получите различные варианты реализации по Кауэру двухполюсника, обладающего входным сопротивлением задачи 1.

4.Реализуйте в виде лестничной цепи Кауэра двухполюсник с входным сопротивлением

Z (p)= p(p2 +9).

5. Определите, может ли данное выражение быть функцией входного сопротивления некоторой электрической цепи:

а)

2 p2

5 p +1

;

 

 

 

p

2

+ p +1

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

p2

 

;

 

 

 

 

5 p2

+

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

 

p4

+ 26 p2 + 25

;

 

 

 

p3

+ 4 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж)

 

p4

+10 p2 + 9

.

 

 

 

p3

+ 4 p

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

9 p

 

;

(2 p +1)(p2 + p +1)

г)

(p +1)(p + 3)

;

 

p (p + 2)

 

е)

p2 + p +1

;

 

 

1 + p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.3.2.СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

6.Рассчитайте параметры элементов ФНЧ с максимально плоской характеристикой затухания, с числом элементов цепи n = 5 и

288 ГЛАВА 15. ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙ

частотой среза ω1 = 2πf1 = 2π 105 рад/с и внутренним сопротивлением генератора R0 = 50 Ом.

7.Определите величину затухания ФНЧ (задача 6) на частоте f1 =1.2 105 Гц.

8.Определите порядок ФНЧ с плоской характеристикой и час-

тотой среза ω1 = 2π 105 рад/с, имеющего затухание не менее 30 дБ на частоте ω = 2π 1.25 105 рад/с.

9.Докажите, что при одинаковых исходных данных фильтры с чебышевской характеристикой имеют большее затухание за полосой пропускания по сравнению с фильтрами, имеющими плоскую характеристику затухания.

10.Сколько элементовов должен иметь ФВЧ с чебышевской харак-

теристикойзатухания L

Ar

=1.0 дБичастотойсреза ω = 2π 104 рад/с,

 

 

 

LAr 20

1

 

 

чтобы

обеспечить

затухание

дБ

на

частоте

ω = 2π 0.8 104 рад/с?

 

 

 

 

 

 

1

Сколько резонаторов должен содержать ППФ с максимально

11.

плоской характеристикой затухания, ω =104

рад/с,

ω

=1.6 рад/с,

 

 

 

 

1

 

2

 

чтобы обеспечить затухание на частоте ω= 0.8 104 рад/с не менее

20дБ?

12.Чему равна мощность в нагрузке фильтра, если амплитуда

ЭДС генератора на входе Eвх = 20 В, внутреннее сопротивление генератора R0 = 50 Ом, а затухание фильтра LA =1;2;3;10;20 дБ?

15.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

По исходным данным, приведенным в табл. 15.1 и 15.2, произвести синтез четырехполюсника (фильтра) на основе фильтрапрототипа НЧ. Осуществить расчет параметров фильтра.

Таблица 1 5 . 1

Номер

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

варианта

Тип

ФНЧ

ФНЧ

ФВЧ

ФВЧ

ФВЧ

ППФ

ППФ

ППФ

ППФ

ППФ

фильтра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

289

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1 5 . 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Номер

 

 

Исходные данные фильтра

 

 

подва-

 

 

 

 

 

 

 

рианта

n

LAr , дБ

f1 , кГц

f2 , кГц

R0 Ом

Аппроксимация

 

0

4

0,1

10

12,5

50

Чебышева

 

1

4

0,2

20

25

75

Чебышева

 

2

5

3.0

30

35

50

Баттерворта

 

3

5

0,5

40

45

75

Чебышева

 

4

6

3.0

50

60

75

Баттерворта

 

5

6

1,0

60

70

50

Чебышева

 

6

7

3.0

80

100

50

Баттерворта

 

7

7

1,0

100

120

75

Чебышева

 

8

8

3.0

150

200

50

Баттерворта

 

9

8

2.0

200

250

75

Чебышева

Я думаю, нет большей ненависти в мире, чем ненависть невежд к знанию.

Галилео Галилей

ГЛАВА 16

ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ

16.1.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ

Вейвлеты. Непрерывное и дискретное вейвлет-преобразование

(ВП). Характерные отличия от преобразования Фурье. Признаки, свойства и примеры материнских вейвлетов. Свойства вейвлетанализа и возможности ВП [31..34].

Указания. В конце настоящего раздела приведен обзор литературы по теории и практическому использованию ВП. Самые краткие общие сведения даны в учебнике [*.5], для более углубленного изучения возможностей ВП следует обратиться к одной из книг [*.1…*.4]. Подробные обзоры по ВП для тех, кто собирается применять это преобразование в практических расчетах и приложениях, приведены в работах [*.10, *.14]; при этом список литературы в [*.14] содержит 92 названия.

16.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В последние годы возникло и успешно развивается новое и важное направление в теории и технике сигналов, получившее название вейвлет-преобразования (ВП), которое хорошо приспособлено для изучения структуры неоднородных процессов. Это направление еще не так хорошо известно широкому кругу отечественных исследователей и инженеров, поскольку применяется сравнительно недавно и математический аппарат его находится в стадии активной разработки.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.