ТОИИТ / Задания
.pdf
291
Термин “вейвлет” (wavelet) ввели в своей статье Гроссман (Grossmann) и Морле (Morlet) в середине 80-х годов в связи с анализом свойств сейсмических и акустических сигналов. Их работа послужила началом интенсивного развития вейвлетов в последующее десятилетие рядом таких исследователей, как Добеши (Daubechies), Мейер (Meyer), Фарж (Farge), Чуи (Chui) и др.
Из анализа литературы и, в частности, приводимой в конце главы, следует, что ВП широко применяется для исследования нестационарных сигналов, неоднородных полей и изображений различной природы, распознавания образов и для решения многих других задач в радиотехнике, связи, электронике, ядерной физике, сейсмоакустике, метеорологии, медицине, биологии и других областях науки и техники.
Вопросы обработки сигналов в базисе вейвлетов лишь только начали освещаться в отечественной учебной литературе [*.2, *.4, *.6, *.7]. В то же время, в западных университетах читаются многочасовые курсы по теоретическим и практическим аспектам ВП, издаются монографии и уже много лет проводятся семинары и научные конференции.
Все изложенное выше послужило причиной включения основ ВП в программу курса и настоящей главы.
ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Вейвлеты. Английское слово wavelet (от французского “ondelette”) дословно переводится как “короткая (маленькая) волна”. В различных переводах зарубежных статей на русский язык встречаются еще термины: “всплеск”, “всплесковая функция”, “маловолновая функция”, “волночка” и др.
ВП одномерного сигнала – это его представление в виде обобщенного ряда (1.13), (1.14) Фурье по системе базисных функций
ψab (t) = |
1 |
t −b |
|
|
|||
|
ψ |
|
|
, |
(16.1) |
||
a |
a |
||||||
|
|
|
|
|
|||
сконструированных из материнского (исходного) вейвлета ψ(t) за счет операций сдвига во времени ( b ) и изменения временного
масштаба ( a ) (рис. 16.1). Множитель 1/ a обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего числа a .
Малые значения a соответствуют мелкому масштабу ψab (t) или высоким частотам ( ω ~ 1/ a ), большие параметры a – крупному масштабу ψab (t) , т. е. растяжению материнского вейвлета ψ(t)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
293 |
|
1 |
∞ ∞ |
|
|
|
|||||||||
S(t) = |
∫ ∫ Ws (a,b)ψab (t) |
dadb |
, |
(16.3) |
||||||||||
C |
2 |
|||||||||||||
|
ψ −∞ −∞ |
a |
|
|||||||||||
где Cψ – нормирующий коэффициент |
|
|
|
|||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|||||||||
Сψ = ∫ |
|
Ψ(ω) |
|
2 |
|
ω |
|
−1 dω< ∞ , |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−∞ |
ψ(t) . Для ортонормиро- |
||||||||||||
Ψ(ω) – фурье-преобразование вейвлета |
||||||||||||||
ванных вейвлетов Cψ = 1.
Из (16.2) следует, что вейвлет-спектр Ws (a,b) (wavelet spectrum
или time-scale-spectrum – масштабно-временной спектр) в отличие от фурье-спектра (single spectrum) является функцией двух аргументов: первый аргумент a (временной масштаб) аналогичен периоду осцилляций, т. е. обратен частоте, а второй b – аналогичен смещению сигнала по оси времени.
Следует отметить, что Ws (a1, b) характеризует временную зависимость (для временного масштаба a1 ), тогда как зависимости Ws (a, b1) можно поставить в соответствие частотную зависимость (для смещения b1 ).
Если исследуемый сигнал S (t) представляет собой одиночный импульс длительностью τu , сосредоточенный в окрестности t = t0 , то его вейвлет-спектр будет иметь наибольшее значение в окрестности точки с координатами a = τu , b = t0 .
Способы представления (визуализации) Ws (a,b) могут быть различными. Спектр Ws (a,b) является поверхностью в трехмерном
пространстве (см. рис. П.8). Однако часто вместо изображения поверхности представляют её проекцию на плоскость ab с изоуровнями (рис. П.9), позволяющими проследить изменение интенсивности амплитуд ВП на разных масштабах ( a ) и во времени ( b ). Кроме того, изображают картины линий локальных экстремумов этих поверхностей, так называемый скелетон (sceleton), который выявляет структуру анализируемого сигнала.
Разложение сигнала в ряд по вейвлетам. При непрерывном из-
менении параметров a и b для расчета вейвлет-спектра необходимы большие вычислительные затраты. Множество функций ψab (t)
избыточно. Необходима дискретизация этих параметров при сохранении возможности восстановления сигнала из его преобразо-
295
Прямое и обратное дискретные вейвлет-преобразования (ДВП) непрерывных сигналов запишутся в виде:
∞ |
|
cmk = (S(t),ψmk (t))= ∫ S(t)ψmk (t)dt , |
(16.5) |
−∞ |
|
S(t) = ∑cmk ψmk (t) . |
(16.6) |
m,k |
|
Проводя аналогию с преобразованием Фурье, коэффициенты cmk разложения (16.5) можно определить через НВП Ws (a, b)
cmk =Ws (2m ,k 2m ). |
(16.7) |
Обращаясь к (16.5) и (16.7), видим, что вейвлет-спектр cmk
можно представить как “лес” из вертикальных отрезков, размещенных над mk - плоскостью (сеткой); при этом целочисленные координаты m и k указывают соответственно на скорость изменения сигнала и положение вдоль оси времени.
Из (16.6) следует, что сигнал S (t) может быть представлен суммой “вейвлетных волн” с коэффициентами cmk . Формально
обобщенный ряд Фурье (16.6) отличается от рассмотренного ранее ряда (1.13) тем, что суммирование проводится не по одному, а по двум индексам. Однако это несущественно, так как обе системы индексации принадлежат одному классу бесконечных счетных множеств.
Примечания. 1. Статьи, касающиеся практического использования ВП, содержат в основной своей массе результаты компьютерных расчетов, в которых использовано дискретное вейвлет-преобразование (ДВП). При этом не только параметры a и b, но и сигналы также дискретизируются во времени. Если число
отсчетов составляет N = 2n0 , то максимальное значение m в формулах (16.4)
будет равно |
n0 −1 . Наибольшее значение |
k для |
текущего m |
определяется: |
k = 2n0 −m −1. |
В частности, для m = 0 (т. е. |
a =1) |
число сдвигов |
k базисного |
вейвлета составит 2n0 −1 = N −1 ; с каждым последующим значением m (1, 2, …) вейвлет ψmk (t) расширяется в два раза, а число сдвигов k уменьшается в два
раза. Для максимального значения m = mmax , равного n0 −1 , k = 0 , т. е. один вейвлет ψmmax, 0 (t) “накрывает” весь интервал сигнала (рис. 16.3; N = 8 ).
296ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА
2.В некоторых публикациях параметры a , b и базисные функции задаются в
виде
a =1/ 2 j , b = k / 2 j , ψ jk (t) = 2 j ψ(2 j t − k) , |
(16.4’) |
т. е. с ростом j параметр a уменьшается, что соответствует сжатию функции ψ jk (t) . Согласно формулам (16.4) с ростом m увеличивается и коэффициент a , т. е. функция ψmk (t) растягивается.
3. Вейвлет-коэффициенты cmk (или c jk ) можно вычислить с помощью итера-
ционной процедуры, известной под названием быстрого вейвлет-преобразования БВП [*.16, *.24]. Алгоритм БВП приведен в прил. П.13. При этом, если необходимо, можно сжать полученные данные, отбросив некоторую несущественную часть закодированной таким образом информации. Осуществляется это квантованием, в процессе которого приписываются разные весовые множители различным вейвлет-коэффициентам. Аккуратно проведенная процедура позволяет не только удалить некоторые статистические флюктуации и повысить роль динамических характеристик сигнала, но и существенно сократить компьютерную память и требования к передаче информации и, следовательно, снизить расходы.
ГЛАВНЫЕ ПРИЗНАКИ ВЕЙВЛЕТА
В качестве базисных функций, образующих ортогональный базис, можно использовать широкий набор вейвлетов. Для практического применения важно знать признаки, которыми непременно должна обладать исходная функция, чтобы стать вейвлетом. Приведем здесь основные из них.
Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть конечным:
∞
ψ
2 = ∫ ψ(t) 2 dt < ∞ .
−∞
Локализация. ВП в отличие от преобразования Фурье использует локализованную исходную функцию и во времени, и по частоте. Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:
ψ(t) ≤ C(1+ t )−1−ε и SΨ (ω) ≤ C(1+ ω)−1−ε , при ε > 0 .
Например, дельта-функция δ(t) и гармоническая функция не
удовлетворяют необходимому условию одновременной локализации во временной и частотной областях.
297
Нулевое среднее. График исходной функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени (см. рис. 16.1) и иметь нулевую площадь
∞
∫ ψ(t)dt = 0 .
−∞
Из этого условия становится понятным выбор названия “вейвлет” – маленькая волна.
Равенство нулю площади функции ψ(t) , т. е. нулевого момента, приводит к тому, что фурье-преобразование Sψ (ω) этой функции
равно нулю при ω= 0 и имеет вид полосового фильтра. При различных значениях a это будет набор полосовых фильтров.
Часто для приложений бывает необходимым, чтобы не только нулевой, но и все первые n моментов были равны нулю:
∞
∫ tnψ(t)dt = 0 .
−∞
Вейвлеты n -го порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие.
Автомодельность. Характерным признаком ВП является его самоподобие. Все вейвлеты конкретного семейства ψab (t) имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлет ψ(t) , по-
скольку получены из него посредством масштабных преобразований ( a ) и сдвига ( b ).
ПРИМЕРЫ МАТЕРИНСКИХ ВЕЙВЛЕТОВ
Основные вейвлетообразующие функции, или материнские вейвлеты, приведены в табл. 16.1.
Наиболее распространенные вещественные базисы конструируются на основе производных функции Гаусса (g0 (t) =
= exp(−t2 / 2)). Это обусловлено тем обстоятельством, что функция
Гаусса имеет наилучшие показатели локализации как во временной, так и в частотной областях.
