Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТОИИТ / Задания

.pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
9.82 Mб
Скачать

ПРИЛОЖЕНИЯ

П.1. НЕКОТОРЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

cos(90o ± α) = msin α , sin(90o ±α) = +cos α , tg(90o ±α) = mctgα , cos(180o ± α) = −cos α , sin(180o ±α) = msin α , tg(180o ±α) = ±tgα , cos(270o ±α) = ±sin α , sin(270o ±α) = −cos α , tg(270o ±α) = mctgα , cos(360o −α) = +cos α , sin(360o −α) = −sin α , tg(360o −α) = −tgα .

ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ УГЛОВ И ФУНКЦИЙ

cos(α ±β) = cos αcosβ msin αsin β, sin(α ±β) = sin αcosβ ± cos αsin β,

cos α + cosβ = 2cos[(α +β) / 2]cos[(α −β) / 2] , cos α − cosβ = −2sin[(α +β) / 2]sin[(α −β) / 2] , sin α + sin β = 2sin[(α +β) / 2]cos[(α −β) / 2] , sin α −sin β = 2cos[(α +β) / 2]sin[(α −β) / 2] .

ФОРМУЛЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

cos αcosβ = 0.5[cos(α −β) + cos(α +β) , sin αsin β = 0.5[cos(α −β) cos(α +β) , sin αcosβ = 0.5[sin(α −β) + sin(α +β) .

ФОРМУЛЫ КРАТНЫХ АРГУМЕНТОВ

cos2 α = 0.5(1 + cos 2α) , cos3 α = (3/ 4) cos α + (1/ 4) cos3α , cos4 α = 3/ 8 + (1/ 2)cos 2α + (1/ 8)cos 4α ,

cos5 α = (5 / 8) cos α + (5 /16) cos3α + (1/16)cos5α ,

312

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

sin2 α = 0.5(1 cos 2α) , sin3 α = (3/ 4)sin(1/ 4)sin 3α ,

sin4 α = 3/ 8 (1/ 2) cos 2α + (1/ 8) cos 4α,

 

 

sin5 α = (5 / 8)sin α − (5 /16)sin 3α + (1/16)sin 5α .

 

ФОРМУЛЫ ДВОЙНЫХ, ТРОЙНЫХ И ПОЛОВИННЫХ УГЛОВ

 

 

sin 2α = 2sin αcos α ,

 

 

 

cos 2α = cos2 α −sin2 α =12sin2 α = 2cos2 α −1,

 

cos 3α = 4cos3 α −3cos α ,

 

 

 

sin 3α = 3sin α − 4sin3 α ,

 

 

 

cos(α/ 2) = ±

0.5(1 + cos α) ,

 

 

 

sin(α/ 2) = ±

0.5(1 cos α) .

 

 

 

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

 

 

 

shx = (ex ex ) / 2 ,

sin x = − jsh( jx) = (e jx ejx ) / 2 j ,

chx = (ex

+ ex ) / 2

cos x = ch( jx) = (e jx + ejx ) / 2 ,

 

e jωt = cos ωt + j sin ωt , ejωt

= cos ωt j sin ωt .

 

П.2. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

 

 

Функция

 

Производная

Функция

Производная

x

 

1

sin x

 

cos x

xn

 

nxn1

cos x

– sin x

1/ x

 

– 1/ x2

tgx

1/ cos2 x = sc2 x

1/ xn

 

n / xn+1

ctgx

– 1/ sin2 x = −csc2 x

x

 

1/(2

x )

arcsin x

1/

1 x2

n x

 

1 (n n xn 1 )

arccos x

– 1/

1 x2

eax

 

aeax

arctgx

1/(1 + x2 )

ax

 

ax ln x

arcctgx

– 1/(1 + x2 )

ln x

 

1/ x

shx

 

chx

loga x

 

l/(x ln a)

thx

1/ ch2 x

lg x

(lg e) / x 0.43/ x

cthx

– 1/ sh2 x

313

П.3. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.xndx = xn+1 /(n +1) ( n ≠ −1)

2.dx / x = ln x

3.eaxdx = (1/ a)eax

4.xeaxdx = (1/ a2 )eax (ax 1)

5.x2eaxdx = eax (x2 / a 2x / a2 + 2 / a3 )

6.x peaxdx = (1/ a)x peax ( p / a)x p1eaxdx

7.xeax2 dx = −(1/ 2a) eax2

8.x2ex2 / 2dx = −x ex2 / 2 + ex2 / 2dx

9.axdx = ax / ln a

10.sin αxdx = −(1/ α) cos αx

11.cos αxdx = (1/ α)sin αx

12.sin2 αxdx = x / 2 (1/ 4α)sin 2αx

13.sin3 αxdx = −(1/ α) cos αx + (1/ 3α) cos3 αx

14.cos2 αxdx = x / 2 + (1/ 4α)sin 2αx

15.cos3 αxdx = (1/ α)sin αx (1/ 3α)sin3 αx

16.xsin αxdx = (1/ α2 )sin αx (x / α) cos αx

17.x cos αxdx = (1/ α2 ) cos αx + (x / α)sin αx

18.sin αx cos αxdx = (1/ 2α)sin2 αx

19.eax cosbxdx = (a2 +b2 )1eax (a cosbx +bsin bx)

ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ X = a2 + x2

20.dx / X =Y / a , здесь и ниже Y = arctg(x / a)

21.dx / X 2 = x /(2a2 X ) +Y /(2a3 )

314

ПРИЛОЖЕНИЯ

22.dx / X 3 = x /(2a2 X 2 ) +3x /(8a4 X ) +3Y /(8a5 )

23.(x2 / X )dx =x aY

24.(x2 / X 2 )dx = −(x / 2X ) +Y /(2a)

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

dx = π/ 2

 

2.

 

sin ax

dx = aπ/ 2

 

 

 

 

x

 

 

x2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

π

 

 

 

 

3.

 

dx = π

 

4.

 

 

 

 

 

при a > 0

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

x2

a2 + x2

2a

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

π

 

dx

 

 

 

 

3π

5.

 

 

 

 

 

 

=

 

6.

 

 

 

 

=

 

 

(a2 + x2 )2

4a3

 

 

 

(a2 + x2 )3

 

16a5

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2dx

 

 

 

 

π

7.

 

 

=∞

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

=

 

 

a2 + x2

 

 

 

 

 

(a2 + x2 )2

 

4a

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

( a > 0,b > 0 )

 

(a2 + x2 )(b2 + x2 )

 

2ab(a +b)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2k dx

(k 1)!(2n k 3)!

π

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ax2 + c)n

2(2n 2)!ak cnk 1

ac

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. e−αxdx =1/ α

 

( α > 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. xe−αxdx =1/ 2α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. xne−αxdx = n!αn1

( α > 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

315

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

e−α2 x2 dx =

 

 

π / 2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

x2e−α2x2 dx =

 

 

π / 4a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

e−αx cos(mx)dx = α/(α2 + m2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α2 m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

xe−αx cos(mx)dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(α

2

 

 

+ m

2

)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

e−α2x2 cos(mx)dx =

 

 

 

eb2 / 4α2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(mx)

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

 

dx =

 

 

ema

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 + x2

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(mx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

(1 + ma)ema

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a

2

+ x

2

)

2

4a

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(mx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πe

ma

 

 

 

 

 

n1

(2n k 2)!(2ma)

k

21.

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a2 + x2 )n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2a)2n1(n 1)!k =0

 

 

k!(n k 1)!

 

 

 

0

( a > 0, m > 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

cos(mx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

(1 ma)ema

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a

2

+ x

2

)

2

 

 

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(mx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

emb

 

ema

 

 

23.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

(a

+ x

)(b

+ x

)

 

 

 

 

 

 

 

 

2(a

b

)

 

 

b

 

a

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 cos(mx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

(aema bemb )

 

 

24.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a

2

+ x

2

)(b

2

 

+ x

2

)

 

2(a

2

b

2

)

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

ex2 / 2 =

 

 

 

 

2πφ (z),

 

 

где φ(z) =1 − φ(z) ,

 

 

 

 

z

316

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

 

z

 

φ(z) =

1

ex2 / 2dx – табулированный интеграл вероятности

2π

 

 

−∞

 

 

 

26. x2 exp(x2 / 2σ2x )dx =

π/ 2 σ3x

0

 

 

 

317

П.4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СПЕКТРАХ

Название теоремы

S(t)

п/п

 

 

1

Теорема о спектре сигнала,

aS(t)

 

умноженного на константу

 

 

2

Теорема о спектре суммы

S1(t) +... + Sn (t)

 

сигналов

3

Теорема о спектре сигнала,

S(t m τ)

 

смещенного во времени (τ)

 

 

4

Теорема о смещении спектра

S(t)em jΩt

 

сигнала

 

5

Теорема о спектре сигнала при

S(at)

 

изменении масштаба времени

 

 

 

 

 

6

Теорема о спектре сигнала при

S(t)

 

инверсии оси времени

 

 

7

Теорема о спектре производ-

d (n)S /(dt)n

 

ной от сигнала

 

8

Теорема о спектре сигнала,

t

 

проинтегрированного по вре-

S(t)dt

 

мени

−∞

9

Теорема о спектре произведе-

S(t)U (t)

 

ния сигналов

 

 

10

Теорема о произведении спек-

S(t) U (t)

 

тров сигналов

 

 

S&(ω)

aS&(ω)

S&1(ω) +... + S&n (ω)

S&(ω)em jωτ

S&(ω± Ω)

1

&

ω

 

S

 

a

a

S&(−ω)

( jω)n S&(ω)

(1/ jω)S&(ω)

S&(ω) U&(ω)

S&(ω)U&(ω)

знак интеграла свертки:

S&(ω) U&(ω) = 1π S&(ξ)U&(ω−ξ)dξ;

2 −∞

S(t) U (t) = S(τ)U (t − τ)dτ

−∞

П.5. ОБ АКТИВНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ И ШИРИНЕ СПЕКТРА ИМПУЛЬСНОГО СИГНАЛА

Вычисления выражений (2.13) и (2.14) для некоторых импульсных сигналов приведены в книге А. А. Харкевича “Спектры и

анализ” (М.: Физматгиз, 1962. 236 с.). Выбирая kэ = 0.9 , получим результаты, приведенные в табл. П.1. Здесь μ = τэ fэ .

318

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица П. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Импульс S(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S&(ω)

 

τэ

 

 

fэ

μ

Прямоугольный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0τ

 

sin(ωτ/ 2)

 

0.90τ

1

 

 

0.9

 

S(t) = S0 ,

 

t

 

≤ τ/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωτ/ 2

 

 

 

 

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Экспоненциальный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0

 

 

1.155

 

0.98α

1.13

 

S(t) = S0e−αt , t > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α + jω

 

 

 

 

 

α

 

Треугольный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

τ

sin(ωτ/ 4) 2

 

 

 

0.84

 

 

 

 

2S0

 

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.54τ

 

0.46

 

S(t) =

 

t

 

 

t

 

≤ τ/ 2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

2

 

 

ωτ/ 4

 

 

 

 

 

τ

 

 

τ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Косинусоидальный

 

 

 

 

 

 

 

2S0τ

 

 

cos(ωτ/ 2)

 

 

 

 

 

0.73

 

 

 

S (t) = S0 cos ω0t,

 

 

t

 

 

≤ τ/ 2 ,

 

 

 

 

 

0.596τ

 

0.43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

1 (ωτ/ π)2

 

 

τ

 

τ = T / 2, T = 2π/ ω0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Колокольный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0

 

 

 

π

e

−ω2 / 4β2

0.825

 

0.26β

0.22

 

 

 

2

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(t) = S0e−β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

Значение μ = τэ fэ

оказывается наибольшим у импульсов, ха-

рактеризующихся разрывом функции S(t) (экспоненциальный и прямоугольный импульсы), меньшим у импульсов с разрывом первой производной S(t) (треугольный и косинусоидальный) и

самым малым у колокольного импульса, характеризующегося непрерывностью как функции S(t) , так и всех ее производных.

Из рассмотренного следует, что эффективная ширина спектра импульса связана с его длительностью зависимостью

fэ = μ/ τэ ,

где μ – коэффициент, зависящий от формы импульса и принятого уровня kэ полной энергии, а следовательно, и уровней τ и f .

Выбирая kэ = 0.95 (95 %), получаем результаты, приведенные в

табл. П.2, взятой из книги Я.С. Ицхоки “Импульсные устройства” (М.: Советское радио, 1959. 728 с.

Оценку эффективной ширины спектра импульса можно произвести также с помощью графика рис. П.1. На нем и в табл. П.2 при-

няты обозначения: τ0.5 длительность импульса, измеряемая на половинном уровне от амплитуды ( 0.5U ); tфа – активная длитель-

ность фронта, определяемая разностью соответствующих моментов времени достижения импульсом значений 0.9U и 0.1U .

 

 

 

 

 

 

 

 

319

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица П. 2

 

Импульс

 

 

 

 

 

fэ = f0.95

Прямоугольный

 

 

 

 

 

 

 

2 / τ

С экспоненциальными фронтами τфа / τ0.5 = 0.2

 

 

0.9 / τ

С экспоненциальными фронтами τфа / τ0.5 = 0.1

 

 

1.37 / τ

Трапецеидальный

 

 

 

 

 

 

 

0.9 / τ

Треугольный

 

 

 

 

 

 

 

0.94 / τ

Косинусоидальный

 

 

 

 

 

 

 

1/ τ

Колокольный

 

 

 

 

 

 

 

0.31/ β

f0.95ф0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

0.8

 

 

 

 

 

 

 

 

0.4

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8 tфаф0.5

 

 

 

Рис. П.1

 

 

 

 

П.6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИЗОБРАЖЕНИЕМ ПО ЛАПЛАСУ

 

 

И ОРИГИНАЛОМ

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( p)

f (t)

 

 

1

δ(t)

 

 

1/ p

σ(t)

 

 

1/ p2 ; 1/ p3 ; 1/ p4

t ; t2 / 2 ; t3 / 6

1/( p + a)

eat

p /( p + a)

δ(t) aeat

1/[ p( p + a)]

(1/ a)(1 eat )

1/[ p( p + a)2 ]

(1/ a2 )(1 eat ateat )

p /( p2 a2 )

ch(at)

1/[( p + a)( p + b)]

[1/(b a)](eat ebt )

320

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

 

p /[( p + a)( p + b)]

[1/(a b)](aeat bebt )

1/( p + a)2

teat

 

 

 

p /( p + a)2

(1 at)eat

 

 

 

1/( p + a)3

(t2 / 2)eat

 

 

 

p /( p + a)3

t(1 at / 2)eat

 

p2 /( p + a)3

(1 2at + a2t2 / 2)eat

 

1/( p + a)4

(t3 / 6)eat

 

 

 

p /( p + a)4

(t2 / 2)eat (at3 / 2)eat

ω/( p

2

2

sin ωt

 

 

 

 

+ ω )

 

 

 

 

p /( p2 + ω2 )

cos ωt

 

 

 

ω/[( p + a)2 + ω2 ]

eat sin ωt

 

 

 

( p + a) /[( p + a)2 + ω2 ]

eat cos ωt

 

 

 

1/[ p2 ( p + a)]

(1/ a2 )(eat + at 1)

 

1/{ p[( p + a)2 + ω2 ]}

[1/(a2 + ω2 )][1 eat (cos ωt + (a / ω)sin ωt)]

p /[( p + a)( p2 + ω2 )]

[1/(a2 + ω2 )][aeat + a cos ωt + ωsin ωt)]

p2 /[( p + a)( p2 + ω2 )]

[1/(a2 + ω2 )][a2eat aωsin ωt + ω2 cos ωt)]

1/[( p + a)2 ( p + b)2 ]

1/(a b)2

 

eat (t +

2 /(a b)) + ebt (t 2 /(a b))

 

 

 

 

 

 

 

П.7. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ

Этот закон широко используется не только в радиотехнике [13, 8–11], но и практически во всех областях знаний, так как большое число различных по своей природе случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному (рис. П.2)

 

w(u) =

1

e(ua)2 / 2σ2 =

1

 

 

1

ex2 / 2 =

1

w(x) ,

(П.1)

 

2πσ

σ

2π

 

 

 

 

 

σ

 

где

x = (u a) / σ относительное отклонение случайной величины

U ;

следовательно, u = xσ + a ;

w(x)

плотность вероятности с

единичной дисперсией (табл. П.3).