Метод Квайна

Теорема Квайна. Для получения минимальной формы логической функции не обходимо в СДНФ произвести все возможные склеивания и поглощения так, что в результате будет получена сокращенная ДНФ. Сокращённая ДНФ в общем случае может содержать лишние простые импликанты, которые необходимо выявить на втором этапе минимизации.

На первом этапе выполняется переход от функции, заданной в форме СДНФ, к сокращенной ДНФ. Это основано на использовании следующих соотношений:

1. соотношениенеполного склеивания:

, гдеи- две конъюнкции, аF- любое элементарное произведение;

2. соотношениепоглощения

.

Справедливость обоих соотношений легко проверяется. Суть метода заключается в последовательном выполнении всех возможных склеиваний и затем всех поглощений, что приводит к сокращенной ДНФ. Метод применим к совершенной ДНФ. Из соотношения поглощения следует, что произвольное элементарное произведение поглощается любой его частью. Для доказательства достаточно показать, что произвольная простая импликанта р = x_i1x_i2... x_inможет быть получена. В самом деле, применяя к р операцию развертывания (обратную операции склеивания):

по всем недостающим переменным x_ik, ..., x_imисходной функции f, получаем совокупность S конституент единицы. При склеивании всех конституент из S получим импликанту р. Последнее очевидно, поскольку операция склеивания обратна операции развертывания. Множество S конституент обязательно присутствует в совершенной ДНФ функции f поскольку р - ее импликанта.

В результате выполнения склеивания получается конъюнкция n-1 ранга, а конъюнкциииостаются в исходном выражении и участвуют в сравнении с другими членами СДНФ. Таким образом, удается снизить ранг термов.

Склеивание и поглощение выполняются до тех пор, пока имеются члены, не участвовавшие в попарном сравнении. Термы, подвергшиеся операции склеивания, отмечаются. Неотмеченные термы представляют собой простые импликанты и включаются в сокращенную ДНФ. Все отмеченные конъюнкции ранга n-1 подвергаются вновь операции склеивания до получения термовn-2 ранга и так далее до тех пор, пока количество неотмеченных конъюнкций больше 2. В результате выполнения первого этапа получена сокращенная ДНФ.

Полученное логическое выражение не всегда оказывается минимальным. На втором этапе переходят от сокращенной ДНФ к тупиковым ДНФ и среди них выбирают МДНФ.

Для формирования тупиковых ДНФ строится импликантная таблица(матрица), строки которой отмечаются простыми импликантами сокращенной ДНФ, а столбцы конститутиентами единицы исходной СДНФ. В строке напротив каждой простой импликанты ставится метка под теми наборами (конститутиентами единицы), на которых она принимает значение 1. Соответствующие конститутиенты поглощаются (покрываются) данной простой импликантой.

Из общего числа простых импликант необходимо отобрать их минимальное число, исключив лишние. Формирование тупиковых форм и выбор минимального покрытия начинается с выявления обязательных простых импликант, то есть таких, которые (и только они) покрывают некоторый исходный набор. Рассмотрим на примере минимизации логической функции:

f_СДНФ= V (1,2,5,6,7)=x₁x₂x₃+ x₁x₂x₃+ x₁x₂x₃+ x₁x₂x₃+ x₁x₂x₃

^{1 2 3 4 5}

Выполним операцию склеивания:

1– 3 (x₁) x₂x₃ 1

2– 4 (x₁) x₂x₃ 2

3 – 5 (x₂) x₁x₃ 3

4 – 5 (x₃) x₁x₂ 4

В результате выполнения первого шага склеивания получаем четыре новые конъюнкции, простых импликант не выявлено. Полученные конъюнкции более не склеиваются и образуют сокращенную ДНФ.

f_{сокр СДНФ}=x₂x₃+ x₂x₃+ x₁x₃+ x₁x₂

Для выявления обязательных простых импликант и фрормирования на их основе минимального покрытия строится импликантная таблица (табл. 13). В строках импликантной таблицы записываются простые импликанты, а в столбцах конституэнты единицы. Звездочка ставится если простая импликанта покрывает контитуэнту.

Таблица 13.

		x1x2x3	X1x2x3	x1x2x3	x1x2x3	x1x2x3
	x2x3	*		*
	x2x3		*		*
	x1x3			*		*
	x1x2				*	*

Простые импликанты являются обязательными так как только они покрывают конституэнтыи включаются в минимальное покрытие. Остается одна непокрытая конституэнтаx₁x₂x₃ которая может быть покрыта одной из двух оставшихся простых импликант. Это приводит к получению двух тупиковых форм.