Машинные методы умножения чисел в прямых кодах

Операция умножения состоит из ряда последовательных сложений. Сложением управляют разряды множителя: если в очередном разряде множителя содержится единица, то к сумме добавляется множимое. При этом, в зависимости от метода умножения, выполняется сдвиг либо множимого, либо частичной суммы. Наряду с этим умножение можно начинать как с младших, так и со старших разрядов множителя.

Введем некоторые обозначения, используемые ниже: - частичное произведение,- частичная сумма.

Ниже приводится схема четырех алгоритмов умножения .

Остановимся более подробно на реализации умножении согласно алгоритму А.

Представим Мн= А = 0,а₁а₂…а_n

Мт= B = 0,b₁b₂….b_n = b₁2^-1+b₂2^-2+…+b_n2^-n+b_n2^-n.

Мн∙Мт = С=А∙В= 0,а₁а₂…а_n ( b₁2^-1+b₂2^-2+…+b_n2^-n)=

=0+(b₁∙0,а₁а₂…а_n)2^-1+…+(b_n-1∙0,а₁а₂…а_n)2^-(n-1)+(b_n∙0,а₁а₂…а_n)2^-n=

=0+b₁∙A2^-1+…+b_n-1∙A2^-(n-1)+…+b_n∙A2^-n=0+b_n∙A2^-n+b_n-1∙A2^-(n-1)+…+b₁∙A2^-1=

=(…((0+b_n∙A)2^-1+b_n-1∙A)2^-1+…+b₁∙A)2^-1

Ниже приведены (без вывода) остальные три реализации алгоритмов (Б, В и Г) умножения.

Мн∙Мт = С=А∙В = (0+b_n∙A+b_n-1∙A∙2²+…+b₁∙A∙2^n-1)2^-n (алгоритм Б)

Мн∙Мт = С=А∙В = (…(0+b₁∙A) ∙2¹+b₂∙A)∙2¹+…+b_n∙A)∙2^-n (алгоритм В)

Мн∙Мт = С=А∙В = 0+b₁∙A∙2^-1+b₂∙A∙2^-2+…+b_n∙A∙2^-n (алгоритм Г)

Структурные схемы операционных устройств, выполняющих умножение по алгоритмам А,Б,В и Г приведены на рис 7.

Рассмотрим пример умножения чисел согласно алгоритму А.

Пример: М_H= 0,1011

b₁ … b₄

₄

М_T= 0,1101

0,0000 начальное содержимое сумматора

0,1011 = Мн ∙ b₄ первое частичное произведение

0,1011 первая частичная сумма

0,0101 1 ∙ 2^-1 сдвиг первой частичной суммы

0,0000 = Мн ∙ b₃ второе частичное произведение

0,0101 1 вторая частичная сумма

0,0010 11 ∙ 2^-1 сдвиг второй частичной суммы

0,1011 = Мн ∙ b₂ третье частичное произведение

0,1101 11 третья частичная сумма

0,0110 111 ∙ 2^-1 сдвиг третьей частичной суммы

0,1011 = Мн ∙ b₁ четвертое частичное произведение

1,0001 111 (возникло переполнение)

0,1000 1111∙ 2^-1сдвиг для получения верного результата Мн∙Мт

Заметим, что при умножении чисел по алгоритму А на отдельных этапах операции возможно переполнение (попадание значащей единицы в знаковый разряд). Однако при последующем сдвиге переполнение устраняется. При использовании других алгоритмов (Б, В, Г) переполнения не возникает.

Время умножения чисел по алгоритму А t_умн = ( t_сл + t_сдв )  n, где n - число разрядов Мт. Следовательно, сдвиг и сложение нельзя выполнять в одном автоматном такте. Это наглядно показано на рис 6.

Ускорение операции умножения

Арифметические операции, к числу которых относится умножение, часто встречаются при решении задач на ЭВМ. Умножение является длинной операцией. Временные затраты на умножение чисел в прямых кодах можно оценить по формуле:

(3)

где p_iвероятность появления единицы в разрядах множителя,t_сл – время формирования очередной частичной суммы,t_сдв – время выполнения сдвига числа на один разряд. Анализируя выражение (3), можно предложить различные пути сокращения величины Т_умн.: уменьшение времени на сдвиг, на формирование очередной суммы, уменьшение числа разрядов множителя. Этого можно достигнуть логическими или аппаратными методами. Рассмотрим логические методы ускорения умножения.

Один из наиболее простых способов состоит в том, чтобы при встрече нулевого разряда в множителе не выполнять формирование очередного (нулевого) частичного произведения, не изменяющего содержимое сумматора. В зависимости от используемого алгоритма умножения выполняется сдвиг либо частичной суммы, либо частичного произведения без выполнения суммирования.