Основные понятия алгебры логики

Существует не более чем различных булевых функций n перемен-ных. К этому выводу легко прийти, пользуясь простыми комбинаторными рассуждениями, и вспомнив, что на каждом из 2ⁿнаборов функции могут принимать два значения.

Функций от одной переменной четыре: этоконстанта0,константа1,тождественная функция, то есть функция, значение которой совпадает с аргументом и функцияотрицания значение которой противоположно значению аргумента. Отрицание будем обозначатьx.

x0x x 1

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1

Функции от некоторого числа переменных можно рассматривать как функции от большего числа переменных, при этом значения функции не меняются при изменении этих ''добавочных'' переменных. Такие переменные называются фиктивными, в отличие от остальных – существенных (действительных).

Переменная x_iназываетсяфиктивной(несущественной) переменной функцииf(x₁,···,x_n), если

f(x₁,···,x_i-1,0,x_i+1,···,x_n) = f(x₁,···,x_i-1,1,x_i+1,···,x_n)

для любых значений x₁,···,x_i-1,x_i+1,···,x_n. Иначе переменнаяx_iназываетсясущественной.

Функции двух переменных представлены в табл. 9 .

Таблица 9.

х1х2	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
00 01 10 11	0 0 0 0	0 0 0 1	0 0 1 0	0 0 1 1	0 1 0 0	0 1 0 1	0 1 1 0	0 1 1 1	1 0 0 0	1 0 0 1	1 0 1 0	1 0 1 1	1 1 0 0	1 1 0 1	1 1 1 0	1 1 1 1

Отметим наиболее часто используемые функции из числа приведенных в таблице:

f₀(x1, x2) = 0 - тождественный ноль (константа 0);

f₁(x1, x2) = x₁∙ x₂– конъюнкция (логическое произведение, И). Иногда употребляется знак & или /\:

f₃(x1, х2) = x₁- повторение x₁;

f₅(x1, x2) = x₂- повторение x₂;

f₆(x1, x2) = x₁ x₂- сложение по модулю 2 или сумма mod 2;

f₇(х1, х2) = x₁+ x₂- дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ) или знак V;

f₈(x1, x2) = x₁↓x₂- функция Вебба (стрелка Пирса, ИЛИ-НЕ);

f₉(х1, х2) = x₁~ x₂- эквивалентность;

f₁₃(x1, x2) = x₁→ x₂- импликация;

f₁₄(x1, x2) = x₁ \ x₂- штрих Шеффера (И-НЕ);

f₁₅(x1, x2) = 1-тождественная единица (константа 1).

Основными операциями булевой алгебры являются: отрицание, логическое сложение и логическое умножение. В булевой алгебре возведение в степень и извлечение корня являются вырожденными логическими операциями, поскольку значения, принимаемые аргументами при возведении в степень и извлечении корня, остаются неизменными, если принять справедливость равенств 1·1= 1 и 0·0= 0. Операции вычитания и деления не рассматриваются и не допускаются.

Логическое отрицание(функция НЕ). Логическим отрицанием высказывания x называется такое сложное высказывание f₁(x), которое истинно, когда x ложно, и наоборот. Функция НЕ записывается следующим образом f₁=x. Реализующий функцию НЕ элемент приведен на рис. 13а.

Логическое умножение (конъюнкция). Конъюнкция (функция И) двух переменныхx₁иx₂это сложное высказывание, которое истинно только тогда, когда истинныx₁иx₂, и ложно для всех остальных наборов переменных. Логическая функция конъюнкции имеет видf=x₁·x₂. Для обозначения операции конъюнкции используются также символы & и Λ. Функция логического умножения (И) отnпеременных имеет видf₂=(x₁,x₂, …,x_n)=x₁·x₂· … ·x_n = Λx_i. Элемент, реализующий операцию логического умножения, изображен на рис. 13б.

Логическое сложение (дизъюнкция). Дизъюнкция (функция ИЛИ) двух переменныхx₁иx₂– это сложное высказывание, которое истинно тогда, когда истинна хотя бы одна из переменныхx₁иx₂, и ложно, когда они обе ложны. Логическая функция дизъюнкции имеет видf=x₁+x₂. Для обозначения операции дизъюнкции используется также символV. Функция логического сложения (ИЛИ) отnпеременных имеет видf₂=(x₁,x₂, …,x_n)=x₁+x₂+ … +x_n =Vx_i. Элемент, реализующий операцию логического сложения, изображен на рис. 13в.

Отрицание конъюнкции (операция Шеффера). Отрицание конъюнкции (функция И-НЕ) двух переменныхx₁иx₂– сложное высказывание, ложное только при истинности обоих аргументовx₁иx₂. Логическая функция И-НЕ имеет видf=x₁·x₂. Элемент, реализующий указанную операцию, изображен на рис. 13г и называется элементом Шеффера или элементом И-НЕ.

Отрицание дизъюнкции (операция Пирса (Вебба)). Отрицание дизъюнкции (функция ИЛИ-НЕ) двух переменныхx₁иx₂– сложное высказывание, истинное только тогда, когда оба аргумента принимают ложное значение. Логическая функция ИЛИ-НЕ имеет видf=x₁+x₂. Элемент, реализующий указанную операцию, изображен на рис. 13д и называется элементом Пирса или элементом ИЛИ-НЕ.

Сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ). Сложение по модулю два это сложное высказывание, которое истинно только тогда, когда истинна только одна из переменныхx₁иx₂. Логическая функция ”сумма по модулю два” имеет видf=x₁x₂. Если число переменныхn>2, то функция истинна на тех наборах, в которых число единиц нечетно. Элемент, реализующий операцию сумма по модулю два, изображен на рис. 13ж.

a) б) в) г) д) ж)

рис. 13. Схемы логических элементов.

Импликация. Это высказывание, принимающее ложное значение только в случае еслиx₁истинно иx₂ложно.

Простейшие булевы функции позволяют строить новые булевы функции с помощью обобщенной операции, называемой операцией суперпозиции.

Суперпозицией булевых функций f₀иf₁,...,f_nназывается функцияf(x₁,...,x_m) = f₀(g₁(x₁,...,x_m),...,g_k(x₁,...,x_m)), где каждая из функцийg_i(x₁,...,x_m) либо совпадает с одной из переменных (тождественная функция), либо – с одной из функцийf₁,...,f_n.

Функция f(x,y) = ¬(x & y) является суперпозицией функций¬и &. Функцияg(x,y) = x (x  y) является суперпозицией функцийи. Функцияh(x,y,z) = (x & y) zявляется суперпозицией функцийи &.

Суперпозиция функций одного аргумента порождает функции одного аргумента. Суперпозиция функций двух аргументов дает возможность строить функции любого числа аргументов. Суперпозиция булевых функций представляется в виде логических формул. Однако следует отметить:

• одна и та же функция может быть представлена разными формулами;

• каждой формуле соответствует своя суперпозиция и, следовательно, своя схема соединений элементов;

• между формулами представления булевых функций и схемами, их реализующими, существует взаимно однозначное соответствие.

Очевидно, среди схем, реализующих данную функцию, есть наиболее простая. Поиск логической формулы, соответствующей этой схеме, представляет большой практический интерес. Преобразование формул булевых функций основано на использовании соотношений булевой алгебры.