- •Теория автоматического управления
- •В. П. Кузнецов, с. В. Лукьянец, м. А. Крупская
- •Часть 1
- •I-53 01 07 «Информационные технологии и управление
- •Введение
- •1. Общие сведения о системах автоматического управления
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Классификация систем автоматического управления
- •1.3. Примеры систем автоматического управления
- •2. Математическое описание звеньев систем автоматического управления
- •2.1. Уравнения звеньев
- •2.2. Линеаризация уравнений динамики звеньев
- •2.3. Передаточная функция и временные характеристики звеньев
- •2.4. Частотные характеристики звеньев
- •2.5. Элементарные звенья и их характеристики
- •2.6. Особенности и физическая реализуемость звеньев
- •3. Математическое описание систем автоматического управления
- •3.1. Структурные схемы и структурные преобразования
- •3.2. Передаточные функции и уравнения систем
- •3.3. Частотные характеристики систем
- •4. Процессы в системах автоматического управления
- •4.1. Общее описание процессов
- •4.2. Аналитические методы вычисления процессов
- •4.3. Моделирование переходных процессов на пэвм
- •5. Устойчивость процессов в системах автоматического управления
- •5.1. Понятие устойчивости линейных систем
- •5.2. Алгебраические критерии устойчивости
- •5.3. Критерий устойчивости Михайлова
- •5.4. Критерий устойчивости Найквиста
- •5.5. Построение областей устойчивости
- •6. Точность систем автоматического управления
- •6.1. Понятие точности. Постоянные ошибки
- •6.2. Установившиеся ошибки при произвольном входном сигнале
- •6.3. Установившиеся ошибки при гармоническом воздействии
- •7. Оценки качества переходных процессов
- •7.1. Корневые оценки качества
- •7.2. Интегральные оценки качества
- •7.3. Частотные оценки качества
- •8. Уравнения состояния линейных систем
- •8.1. Описание систем управления с помощью уравнений состояния
- •8.2. Схемы моделирования и виды уравнений состояния
- •8.3. Преобразование уравнений состояния
- •8.4. Нормальная форма уравнений состояния одномерной системы
- •8.5. Каноническая форма уравнений состояния одномерной системы
- •8.6. Переходная матрица состояния
- •8.7. Передаточная и весовая матрицы
- •8.8. Устойчивость, управляемость и наблюдаемость линейных систем
- •9. Синтез систем автоматического управления
- •9.1. Предварительные замечания
- •9.2. Корректирующие устройства
- •9.3. Корректирующие устройства по внешнему воздействию
- •9.4. Синтез сау на основе логарифмических частотных характеристик
- •9.5. Модальный метод синтеза (метод размещения полюсов)
- •Приложение
- •Литература
- •Теория автоматического управления
- •Часть 1
2.2. Линеаризация уравнений динамики звеньев
Реальные устройства САУ обычно являются нелинейными. Однако при определенных условиях их можно заменить линейными моделями, что значительно упрощает исследование САУ. Операция замены нелинейных уравнений линейными носит название линеаризации. Существуют различные способы линеаризации уравнений динамики. Наиболее распространенным является способ, базирующийся на разложении нелинейных функций в ряд Тейлора.
Пусть звено CAУ описывается нелинейным дифференциальным уравнением
, (2.4)
где – входной,a – выходной сигналы.
Рассмотрим установившийся режим работы звена, когда на входе действует постоянный сигнал . Тогда существует постоянное значение выходного сигнала , которое можно найти из уравнения (2.4), полагая (очевидно, ). Связь установившихся значений сигналов х1 и х2 будет задаваться уравнением установившегося режима
, (2.5)
из которого при заданном можно найти величину .
Введем отклонения от установившегося режима , и разложим функцию f в (2.4) в ряд Тейлора относительно координат :
,
где |
, |
и т.д. |
Учитывая, что , и ограничиваясь в ряде Тейлора только линейным членом, получим
. (2.6)
Уравнение (2.6) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и носит название линeаpизованного уpавнeния.
Приведенной процедуре линеаризации можно дать геометрическую интерпретацию. Уравнение установившегося режима (2.5) определяет нелинейную статическую характеристику звена (рис. 2.2).
Рис. 2.2
|
Нелинейная функция в точке разложения с координатами аппроксимируется линейной: касательной в точке разложения. Отметим ряд существенных моментов в процедуре линеаризации. 1. Линеаризация допустима, если нелинейная функция в точке разложения является аналитической (т.е. дифференцируема бесконечное число раз). Для звена, имеющего статическую |
характеристику с разрывом, линеаризация недопустима. САУ, содержащие такие звенья, должны рассматриваться как нелинейные.
2. Коэффициенты линеаризованного уравнения (2.6) зависят от координат точки разложения . Изменение координат дает уравнение с другими коэффициентами.
3. Линеаризованное уравнение (2.6) и исходное (2.4) будут близки между собой только в окрестности точки разложения. это соответствие будет тем лучше, чем меньше отклонения координат от установившегося режима и чем ближе нелинейная функция в точке разложения к своей касательной. Дать определенные количественные оценки такой близости затруднительно.
рассматриваемые далее САУ будем полагать линейными, считая, что их звенья, если это необходимо, на предварительном этапе подверглись процедуре линеаризации.
Пример 2.2. Пусть звено описывается нелинейным дифференциальным уравнением .
Уравнение статики имеет вид . Положим входной сигнал, тогда очевидно, что. Линеаризация исходного уравнения дает
.
Если , то получим уравнение .
Таким образом, в зависимости от координат точки разложения будем иметь уравнения с различными коэффициентами.