8. Уравнения состояния линейных систем

8.1. Описание систем управления с помощью уравнений состояния

Рассматриваемые в предыдущих разделах системы относятся к простейшему (классическому) типу САУ, характеризуемому одной регулируемой координатой (одномерные системы). Динамические процессы в них удобно описывать одним дифференциальным уравнением n-го порядка, передаточными функциями и частотными характеристиками. При описании многомерных или многосвязных систем, имеющих несколько регулируемых координат, такой подход встречает определенные трудности. Более естественной формой математического описания многомерных систем является векторно-матричная форма уравнений динамики или подход, базирующийся на применении уравнений состояния.

Преимуществом математических моделей в виде уравнений состояния является универсальность (применимость как для одномерных, так и для многомерных систем), компактность формы записи, а также более естественная форма записи для численных расчетов на ЭВМ. В силу этого с конца 60-х годов ХХ столетия в теории управления развиваются методы описания и исследования САУ на базе уравнений состояния.

При математическом описании любой системы всегда можно выделить три группы величин: – входные сигналы, действующие на систему, включающие как управляющие, так и возмущающие сигналы;– выходные сигналы, несущие информацию о поведении системы, а также переменные, характеризующие непосредственно саму систему (переменные состояния).физический смысл переменных идостаточно ясен. Переменные состояния– это минимальный набор физических или абстрактных величин, который полностью определяет состояние системы в любой момент времени.

Объединим соответствующие группы переменных в векторы: –вектор входа системы, –вектор выхода системы (вектор наблюдения), –вектор состояния, ,,– евклидовы пространства соответствующих размерностей. Пространствоносит названиепространства состояний.

Так как нас интересует поведение системы во времени, т.е. динамика системы, то все соответствующие переменные и векторы будем полагать в дальнейшем функциями текущего времени t, т.е. ,,.

Под математической моделью системы будем понимать соотношения между векторами ,,, описываемые при помощи математических операций и позволяющие однозначно определять закон изменения во времени вектора выходапри заданном векторе входа и начальном состоянии системы x.

В случае непрерывных систем наиболее общей формой математической модели являются уравнения вида

, , (8.1)

где ,,– вектор-функции соответствующих размерностей;,– скалярные функции.

Уравнения (8.1) носят названия уравнений состояния, первое из которых будем называть уравнением входа, а второе – уравнением выхода.

Уравнения (8.1) описывают динамику нелинейной нестационарной непрерывной системы с сосредоточенными параметрами. Если ,в явном виде не зависят от времениt, то имеем соответствующую модель стационарной системы.

Если в некоторой области изменения переменных функции , являются линейными, то уравнения (8.1) превращаются в линейные уравнения состояния

, , (8.2)

где А, В, C, D – соответственно матрицы размерностей ,,,.

Если коэффициенты всех матриц не зависят в явном виде от времени, то имеем модель линейной стационарной системы. Если хотя бы один из коэффициентов этих матриц в явном виде зависит от t, то модель будет нестационарной.

Для физически реализуемых систем всегда D = 0 (здесь и далее равенство матрицы нулю подразумевает равенство нулевой матрице) и чаще всего рассматриваются уравнения состояния вида

, . (8.3)

Матрица А называется основной матрицей системы, В – матрицей входа, С – матрицей выхода, D – матрицей связи.

В данном разделе будем рассматривать только линейные стационарные системы, описываемые уравнениями (8.2), (8.3).

Отметим ряд дополнительных моментов, касающихся приведенных моделей систем:

1. Для полного описания поведения системы всегда требуется задать ее начальное состояние в некоторый момент времени (чаще всего нулевой). Это соответствует заданию начальных условий для дифференциальных уравнений, входящих в (8.1)–(8.3). Итак, в (8.1)–(8.3) всегда подразумевается задание x(0).Чаще всего .

2. Элементы матриц А, В, С, D и векторов ,, в общем случае могут быть комплексными величинами.

3. В (8.1)–(8.3) величины ,могут быть скалярными, т.е. уравнения (8.1)–(8.3) могут описывать как многомерные, так и одномерные системы.

4. Уравнениями (8.1)–(8.3) могут быть описаны любые динамические системы: отдельные элементы и устройства, объект управления, регулятор, вся САУ в целом.

Пример 8.1. Рассмотрим САУ стандартной структуры, изображенной на рис. 3.1. Пусть ,,, а выход звена(соответственно вход) обозначим черезu.

При этом несложно получить следующие уравнения: ,,, а после введения новых переменных,– уравнения состояния

Векторно-матричная модель системы будет иметь вид

, . (8.4)