2.6. Особенности и физическая реализуемость звеньев

Пусть звено имеет передаточную функцию .

Если нули передаточной функции (корни уравнения N(s) = 0) и полюса передаточной функции (корни уравнения L(s) = 0) имеют действительные части, отрицательные или равные нулю, то такое звено будем называть звеном минимально-фазового типа. При наличии хотя бы одного нуля или полюса с положительной вещественной частью звено будет относиться к нeминимально-фазовому типу.

Рассмотрим эти звенья на простейшем примере. Для звена с передаточной функцией , которое является минимально-фазовым,,. Звено с передаточной функцией, являющееся неминимально-фазовым, имеет частотные характеристики,.

Таким образом, при одинаковых АЧХ неминимально-фазовое звено имеет больший по модулю фазовый сдвиг.

Указанное свойство справедливо и в общем случае.

Рассмотрим еще одно важное свойство звеньев – свойство физической реализуемости.

Для любого реального устройства АЧХ с увеличением частоты должна уменьшаться и стремиться к нулю, а фазовые сдвиги на высоких частотах должны быть отрицательными. Пусть полином числителя КN(s) передаточной функции W(s) имеет порядок m, а полином знаменателя – порядок. Тогда для минимально-фазового звена справедливы следующие соотношения:

Из приведенных соотношений следует, что звено является физически реализуемым, если будет выполняться соотношение .

С этой точки зрения, например, идеальное дифференцирующее звено с передаточной функцией W(s) = Ks не является физически реализуемым. Реальное звено, осуществляющее операции дифференцирования, может быть аппроксимировано передаточной функцией W(s) = Ks в некотором ограниченном диапазоне частот.

3. Математическое описание систем автоматического управления

3.1. Структурные схемы и структурные преобразования

Графически системы автоматического управления представляют в виде стpуктуpныx сxeм, которые разделяют на конструктивные, функциональные и алгоритмические. В случае конструктивных схем блок является законченным техническим устройством (двигатель, усилитель, тахогенератор и т.п.). В функциональных схемах блок представляет собой один или несколько элементов, осуществляющих какую-либо функцию (усиления, преобразования, сбора информации и т.п.). Часто конструктивные блоки могут совпадать с функциональными.

При математическом описании систем управления распространение получили алгоpитмичeскиe стpуктуpныe сxeмы, составной частью которых являются звенья систем. Характеристикой звена является его математическое описание в виде дифференциального уравнения, передаточной функции или другой характеристики. Наиболее часто такой характеристикой является передаточная функция, которая записывается внутри прямоугольника, изображающего звено на структурной схеме.

Таким образом, алгоритмические структурные схемы, которые в основном в дальнейшем будем использовать и называть просто структурными схемами, являются графической интерпретацией математической модели системы управления.

В процессе исследования структурные схемы подвергаются преобразованию: некоторые звенья могут объединяться в одно звено, другие, наоборот, подвергаются расчленению. Такие преобразования носят название стpуктуpныx пpeобpазований, которые фактически соответствуют преобразованиям математических моделей. В результате таких преобразований конечная структурная схема может сильно отличаться от исходной, а тем более от функциональной или конструктивной схемы.

Одним из результирующих итогов структурных преобразований является приведение произвольной структуры системы к некоторому стандартному виду. Структурная схема такой стандapтной систeмы автоматического управления представлена на рис. 3.1, где – передаточная функция объекта управления,– передаточная функция регулятора,v – входной сигнал, f – возмущающий, y – выходной сигнал, е – сигнал рассогласования. Единичная обратная связь в такой системе называется главной обратной связью.

v

Рис. 3.1

На структурных схемах сигналы следует рассматривать как изображения по Лапласу соответствующих переменных.

Рассмотрим преобразование произвольной структуры к стандартному виду, которое осуществляется на основании правил структурных преобразований. Анализ структур систем автоматического управления показывает, что существует три основных вида соединения звеньев: последовательное, паpaллельноe и соeдинениe с помощью обратной связи.

Структурные схемы, соответствующие указанным типам соединений, представлены на рис. 3.2, a, б, в.

Рис. 3.2

Отметим, что в дальнейшем, если это ясно из контекста, символ s в записи передаточных функций будем иногда опускать.

Рассмотрим задачу объединения звеньев в одно звено, связывающее непосредственно вход и выход соответствующего соединения.

Для последовательного соединения (см. рис. 3.2, а) можно записать: ,. Исключая промежуточную величину , получим,. Итак, при последовательном соединении общая передаточная функция соединения будет равна произведению передаточных функций звеньев:. Если последовательно соединено i звеньев, то аналогично .

Для параллельного соединения (см. рис. 3.2, б) уравнения, связывающие координаты, имеют вид ,,. Исключая величиныииз этих уравнений, получим, т.е. общая передаточная функция соединения будет равна сумме передаточных функций звеньев. В случае последовательного соединенияi звеньев получим .

Уравнения, связывающие переменные при соединении звеньев с помощью обратной связи (см. рис. 3.2, в), имеют вид ,, , откуда, исключая переменные,, получим, т.е. общая передаточная функция соединения будет равна.

Если звенья соединены с помощью положительной обратной связи, то .

Наряду с объединением звеньев при структурных преобразованиях приходится прибегать к переносу отдельных узлов или сумматоров из одних участков структурной схемы в другие. Такие переносы изображены на рис. 3.3, где слева – исходная схема, а справа – структурная схема после соответствующего переноса узла или сумматора. Нетрудно видеть, что по отношению к сигналам входа и выхода исходная и преобразованная структурные схемы эквивалентны.

Рис. 3.3

На практике существует и другая задача – расчленения отдельного звена на более простые. Примером решения такой задачи может служить представление передаточной функции звена в виде суммы или произведения передаточных функций элементарных звеньев.

Пример 3.1. Рассмотрим систему управления, структурная схема которой представлена на рис. 3.4, a. Последовательность преобразования структуры следующая: переносим сумматор d через звено и через сумматорс. Далее объединим звенья до точки приложения воздействия f и после нее. В результате будем иметь структуру, представленную на рис. 3.4, б.

Рис. 3.4