9.4. Синтез сау на основе логарифмических частотных характеристик

Общий порядок синтеза системы включает следующие этапы:

1. По виду передаточной функции исходной системы строится ЛАХ исходной системы. При этом исходная система должна иметь функционально необходимые элементы и должна быть минимально-фазовой.

2. На основании требований к САУ строится желаемая ЛАХ .

3. Путем сравнения характеристик иопределяется(если коррекция последовательная). Эту коррекцию также можно пересчитать к параллельной или встречно-параллельной.

4. По виду определяется структурная схема и параметры коррекции.

5. Производится моделирование системы на ЦВМ (например в среде Matlab), уточняются параметры САУ.

6. Производится реализация коррекции с помощью регуляторов или программно.

Построение ЛАХ исходной системы не вызывает затруднений. Рассмотрим подробнее построение желаемой ЛАХ.

Учет требований точности САУ:

а) пусть даны рабочая частота и амплитуда задающего воздействия , а также допустимая ошибка .

Так как для низких частот , то при,. Тогда

. (9.15)

б) пусть даны . Тогда

(9.16)

в) Пусть для астатической САУ даны и.

Тогда и прии

. (9.17)

С помощью выражений (9.15)–(9.17) строится низкочастотная область (рис. 9.6).

Рис. 9.6

Значение частоты называют добротностью САУ по скорости. Первый изломна частотепри однократном изломе (при изменении наклона на) определяется как, гденазывают добротностью системы по скорости; при двукратном изломе.

Учет требований качества переходного процесса: , колебатель- ности, запасов устойчивости. Эти показатели учитываются при формировании среднечастотной области. Здесь можно воспользоваться графиками (рис. 9.7, а, б).

Рис. 9.7

По графику (см. рис. 9.7, а) для заданных значений инаходяти затем из соотношениячастоту среза.

Например: (как показано на рис. 9.7, а) для ,, откуда для заданного значения(допустим, что оно равно 0,01 с), определяются значенияи

По графику (см. рис. 9.7, б), где установлены зависимости оти ординатисреднечастотной частиот, находят для заданного значениянеобходимые,и.

Сопряжение среднечастотного участка с низкочастотным и высокочастотным (рис. 9.8) должно быть таким, чтобы была проще коррекция и изломы, по возможности, были однократными.

Рис. 9.8

Для облегчения процедуры синтеза коррекции вводятся типовые передаточные функции исходной системы и соответствующие им передаточные функции желаемой системы:

* с учётом требований по точности;

Остановимся на коррекции.Вычитая из ординаты, получимВид ЛАХ коррекции соответствует случаю коррекции с опережением и отставанием по фазе.

Передаточная функция коррекции будет с учётом обеспечения показателей точности иметь вид

(9.18)

где причёмкоэффициент передачи исходной системы.

Так как реализовать дифференцирующие звенья сложно, переходят к схеме коррекции с использованием интеграторов. Для этого необходимо представить (9.18) в виде

Схема реализации коррекции представлена на рис. 9.9.

Рис. 9.9

9.5. Модальный метод синтеза (метод размещения полюсов)

Рассмотрим САУ с одним входом и одним выходом, будем считать Пусть модель объекта имеет вид

(9.19)

При этом методе синтеза [6] закон управления выражается формулой

(9.20)

где вектор коэффициентов

Структура замкнутой САУ приведена на рис. 9.10.

Рис. 9.10

Так как то назначение САУ поддерживать значениеТакую САУ называют регулятором состояния.

Рассмотрим пример спутника (рис. 9.11) с передаточной функцией [6].

Рис. 9.11

Модель объекта (спутника) будет иметь вид

или

Для замкнутой САУ, где , имеем

или(9.21)

где матрица коэффициентов замкнутой САУ.

Характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид

(9.22)

Пусть корни его будут и, тогда характеристическое уравнение желаемой замкнутой системы имеет вид

(9.23)

Синтез системы заключается в выборе ив (9.22), которые бы соответствовали коэффициентам уравнения (9.23), т.е.

(9.24)

Рассмотрим общий принцип синтеза САУ.

Пусть

.

Подставляя (9.26) в (9.25), получим

(9.27)

Характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид

(9.28)

Если корни то желаемое характеристическое уравнение замкнутой САУ будет иметь вид

(9.29)

Приравнивая (9.28) и (9.29), имеем

(9.30)

В этом уравнении неизвестныхно они могут быть найдены путем приравнивания коэффициентов прив одинаковых степенях.

Пусть передаточная функция объекта будет иметь вид

(9.31)

Уравнения состояния при имеют вид

(9.32)

Матрица является фробениусовой, а уравнение объекта соответствует нормальной форме.

При законе модального уравнения для замкнутой САУ в матрицечленМатрица

Характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид

Желаемое характеристическое уравнение замкнутой САУ будет

Из двух последних уравнений следует:

(9.33)

Последняя система представляет собой общее решение задачи синтеза путём размещения полюсов для САУ с одним входом и одним выходом, но для этого исходная модель САУ должна быть в нормальной форме (матрица фробениусова).

Аккерман предложил формулу, которая позволяет перейти от произвольной формы уравнений состояния к нормальной, затем найти а потом перейти к исходной структуре.

Формула Аккермана имеет вид

(9.34)

где матричный полином, образованный путём использования коэффициентов желаемого характеристического уравнения

(9.35)

Последние выражения (при ) рассчитываются на компьютере.

Пример 9.3. Для спутника характеристическое уравнение

Используем формулу Аккермана. Определим затем. Образуем матричный полином

По формуле Аккермана Как видим, результаты совпали с (9.24).

Остановимся на вопросе формирования полюсов передаточной функции замкнутой САУ, исходя из заданных показателей качества на основе корневых оценок.

Определим границу расположения желаемых полюсов (корней) САУ. Исходя из заданного времени переходного процесса , в силу (7.4) находимесли ближайший к мнимой оси корень вещественный и

Угол сектора комплексных корней связан с перерегулированием в силу (7.6) соотношением гдеесли ближайшая к мнимой оси – пара комплексных сопряжённых корней и

Из соотношения следует

(9.36)

Пример 9.4. Рассмотрим оба случая для САУ из предыдущего примера.

1. Если (ближайший корень – вещественный) ито.

Возьмём оба корня вещественных: Тогда

2. Пусть ас, т.е.Тогда.

При значение; ,

.

Примечание. При определении полюсов не следует чрезмерно увеличивать , так как при этом увеличиваются значения, а для повышения реакции инерционных объектов надо на их вход подавать большие сигналы, что может привести к насыщению элементов и сделать САУ нелинейной [6].