5.3. Критерий устойчивости Михайлова

Этот критерий относится к группе частотных и был предложен в 1938 г. А. Михайловым. Он базируется на известном в теории функции комплексного переменного принципе аргумента. Характеристический полином замкнутой системы представим в виде , где– корни уравнения.

Сделаем замену , тогда. Приращение аргумента векторапри изменении частотыотдобудет равнодля левого корня идля правого корня (рис. 5.1). Приращение аргумента вектора, имеющегоправых илевых корней, будет равно, а при измененииот 0 до– в 2 раза меньше, т.е..

Рис. 5.1

Из последнего выражения следует, что для устойчивой САУ и . (5.12) Полином D(s) после заменыпредставляет собой комплексное число, действительная и мнимая части которого зависят от частоты: , где , .

Изменяя от нуля до , на комплексной плоскости строится годограф, который называетсякpивой Mиxайлова. При он всегда будет находиться на действительной оси в точке, а призначенияХ и Y равны или, т.е. годограф будет уходить в бесконечность в каком-либо квадранте комплексной плоскости.

Кpитepий Миxайлова. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента функции при изменении от нуля до равнялось, что означает последовательное прохождение кривой Михайловаn квадрантов против часовой стрелки в комплексной плоскости.

Обычно критерий Михайлова применяется после проверки необходимого условия устойчивости (5.3).

На рис. 5.2 представлен ряд кривых Михайлова для систем различного порядка.

Кривые 1, 2 соответствуют устойчивым системам при n = 3, 4 соответственно, кривая 3 – неустойчивой системе при , так как нарушена последовательность прохождения квадратов комплексной плоскости.

Рис. 5.2

Рассмотрим определение с помощью кривой Михайлова границ устойчивости. Система будет находиться на границе устойчивости, если чисто мнимая величина будет являться корнем уравнения, т.е. кривая Михайлова должна проходить через начало координат. При этом приимеем апе-

риодическую границу, при – колебательную,соответствует бесконечному корню. При этом следует проверить, чтобывсе остальные корни были левыми. Такую проверку можно осуществить, исследуя соответствующий график кривой Михайлова в точке пересечения начала координат. Если малые деформации кривой приводят к устойчивой системе, то это соответствует границе устойчивости.

На рис. 5.3 представлены два годографа, проходящие через начало координат.

Рис. 5.3

Для кривой 1 малые деформации ее в начале координат приведут к устойчивой системе, что соответствует границе устойчивости, а для кривой 2 система при малых деформациях графика все равно будет неустойчивой. Пример 5.4.Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид. Характеристический полином замкнутой системы будети соответственно. При любом

, кривая Михайлова прибудет начинаться на действительной оси в точке с координатами (K, j0) и всегда проходить последовательно первый и второй квадранты комплексной области, так как мнимая часть всегда положительна, а действительная с ростомW меняет знак с плюса на минус.

Система при любых K > 0, T > 0 всегда устойчива, что совпадает с результатом примера 5.1.