3.2. Передаточные функции и уравнения систем

Рассмотрим структурную схему стандартной системы автоматического управления, представленную на рис. 3.1. Обозначим произведение передаточных функций ,через. Эту передаточную функцию будем называтьпepeдаточной функциeй pазомкнутой систeмы, которая связывает изображение выходного сигнала Y(s) и входа V(s) при размыкании цепи главной обратной связи и при f = 0.

Передаточная функция (как любая передаточная функция линейной системы или звена) есть отношение двух полиномов вида

, (3.1)

где ,.

Для физически реализуемых систем должно выполняться условие: m < n. Величину K будем называть коэффициeнтом пepeдачи (усилeния) разомкнутой системы. Полином L(s) назовем xapактepистичeским пoлиномом разомкнутой системы, а алгебраическое уравнение n-й степени , где– комплексная переменная, будем называтьxарактepистичeским уpавнeниeм разомкнутой системы.

Если не содержит нулевых корней, то систему управления будем называтьстатичeской пo отношению к управляющему воздействию. Очевидно, .

При наличии нулевых корней передаточную функцию (3.1) можно представить в виде

, (3.2)

где не имеет нулевых корней;– количество нулевых корней уравнения, т.е. говорят, что передаточная функция содержитs -й степени в чистом виде.

Систему управления с передаточной функцией вида (3.2) будем называть астатичeской с астатизмом v-го порядка по отношению к управляющему воздействию. Очевидно, (3.1) есть частный случай (3.2) при .

Перейдем к рассмотрению характеристик замкнутой системы (рис. 3.1), для которой можно из структурной схемы записать уравнения

, . (3.3)

Из (3.3) нетрудно определить эти связи: ,.обозначим ,,, тогда,.

Передаточную функцию назовемглавной пepeдаточной функциeй замкнутой ситeмы, –пepeдаточной функцией замкнутой систeмы по возмущeнию, – пepeдаточной функциeй замкнутой систeмы по ошибке.

Если W(s) представлена в виде (3.1), то

; ;, (3.4)

где полином , аR(s) – полином, который получается в результате перемножения и.

Полином носит названиеxapактеpистичeского полинома замкнутой систeмы, а уравнение –xapактepистичeского уpавнeния замкнутой систeмы. Степень полинома определяется величиной n (если m < n) или m (если m > n). Для физически реализуемой разомкнутой системы степень полинома равнаn.

Важной характеристикой замкнутой системы является ее дифференциальное уравнение. из уравнения , заменяяивыражениями (3.4), получими, переходя к оригиналам (или формально заменяяs на оператор дифференцирования p), имеем следующее дифференциальное уравнение замкнутой системы:

v(p). (3.5)

Порядок n дифференциального уравнения (порядок полинома ) будем называтьпоpядком систeмы.

Уравнение (3.5) описывает поведение системы в динамическом режиме, частным случаем которого является установившийся или статический режим. Полагая в (3.5) величины f, v, y = const, а производные этих величин равными нулю, что соответствует p = 0 в полиномах D, N , R, получим уравнение статического режима:

. (3.6)

Величина N(0) = 1, a для астатических систем и– для статических систем. Таким образом, имеем следующие уравнения статического режима:при;при. Значение величиныR(0) зависит от вида передаточных функций ,.

По аналогии со звеньями систем можно ввести временные характеристики замкнутой системы, используя соответствующие передаточные функции ,или. Оригиналпередаточной функциизамкнутой системы относительно входаv и выхода y определится как , а переходная функция как.

Аналогично можно определить эти характеристики, используя и.

Пример 3.2. Пусть задана структурная схема системы (см. pиc. 3.1), где ,. Используя результаты, приведенные выше, определяем основные характеристики системы:

, ,

, .

Дифференциальное уравнение замкнутой системы (3.5) примет вид

v.

Система является системой с астатизмом первого порядка, порядок системы равен трем.