2. Властивості збіжних послідовностей

Теорема Збіжна послідовність має єдину границю.

Доведення.Припустимо, що збіжна послідовністьмає дві різні границіі, тобто. Тоді та, деіелементи нескінченно малих послідовностейта. Отже,абоОскільки, за властивістю нескінченно малих послідовностей, є елементами нескінченно малої послідовності, апостійне число, то. Таким чином,.

Теорема.Якщо послідовністьзбіжна, то вона обмежена.

Доведення.Нехайі-номер, починаючи з якого виконується нерівність, де. Тоді

для всіх . Виберемо. За цієї умовидля будь-якого.

Зазначимо, що не всяка обмежена послідовність є збіжною. Наприклад, послідовність обмежена, але не збіжна.

Теорема 2.6.Якщоізбіжні послідовності, то:

1. Послідовність , яка є сумою (різницею) збіжних послідовностейта, збіжна і її границя дорівнює сумі (різниці) границь цих послідовностей, тобто.

2. Послідовність , яка є добутком збіжних послідовностейй, збіжна і її границя дорівнює добутку границь цих послідовностей, тобто.

3. Послідовність , яка є часткою збіжних послідовностейта, за умови, збіжна і її границя дорівнює частці границь цих послідовностей, тобто.

Доведення.Нехайізбіжні послідовності та. Тоді і, дей–елементи нескінченно малих послідовностейі. Покажемо, що має місце:

1) .

Оскільки є елементами нескінченно малої послідовності, то звідси випливає, що.

2) .

Оскільки є елементами нескінченно малої послідовності, то.

Тобто .

3)

Послідовність є нескінченно малою. Покажемо, що послідовністьобмежена. Оскількиі, то дляіснує такий номер, що для всіхвиконується нерівність,

отже, , тобто, а томудля всіх. Звідси випливає, що послідовністьобмежена.

Таким чином, послідовністьнескінченно мала, а тому

,

тобто

, де.

Зауваження.Пункт 1) наведеної теореми допускає узагальнення на довільне скінченне число доданків. Пункт 2) - на довільне скінченне число множників. Із пункту 2) випливає, що постійний множник можна виносити за знак границі, тобто

.

3. Невизначені вирази.

Нехай і. Виникає питання, що можна сказати про границю? Виявляється, що ця границя залежно від окремого закону поведінки зміннихтаможе приймати різні значення або взагалі не існувати.

Приклади.

1. Якщо і, то.

2. Якщо і, то.

3. Якщо і, то.

4. Якщо і, тотане існує.

Отже, лише значення границь числових послідовностей ,не дозволяє у розглянутому вище випадку робити висновки про значення границі їх відношення. Для того, щоб схарактеризувати цю особливість, говорять, що за умовиівираз є невизначеністю типу.

Аналогічно невизначеними виразами є:

а) у випадку івиразє невизначеністю типу;

б) у випадку івираз є невизначеністю типу;

в) у випадку тавиразє невизначеністю типу.

Для визначення границь невизначених виразів типучасто може застосовуватися теорема Штольца, яку ми наведемо без доведення

Теорема.Якщо послідовностітакі, що

1) починаючи з деякого номера

2) ;

3) існує

то .

ЛЕКЦІЯ 7

9. Граничний перехід у нерівностях.

10. Монотонні послідовності.

11. Число е.

12. Теорема про вкладені відрізки.